Остовные деревья: определения, лемма о безопасном ребре — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 3: Строка 3:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
'''Минимальным остовным деревом''' (англ. '''Minimum spanning tree''') графа <tex> G = \langle V, E \rangle </tex> называется его ациклический связный подграф, в который входят все его вершины, обладающий минимальным суммарным весом ребер.
+
'''Минимальное остовное дерево''' (англ. ''minimum spanning tree'') графа <tex> G = \langle V, E \rangle </tex> {{---}} это его ациклический связный подграф, в который входят все его вершины, обладающий минимальным суммарным весом ребер.
 
}}
 
}}
 
Заметим, что граф может содержать несколько минимальных остовных деревьев.  
 
Заметим, что граф может содержать несколько минимальных остовных деревьев.  
 
Для формулировки и доказательства леммы о безопасном ребре рассмотрим следующие определения.
 
Для формулировки и доказательства леммы о безопасном ребре рассмотрим следующие определения.
Пусть <tex>G'</tex> {{---}} подграф некоторого минимального остовного дерева графа <tex> G = \langle V, E \rangle </tex>.
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
 +
Пусть <tex>G'</tex> {{---}} подграф некоторого минимального остовного дерева графа <tex> G = \langle V, E \rangle </tex>.
 
Ребро <tex> \langle u, v \rangle \notin G' </tex> называется '''безопасным''', если при добавлении его в <tex> G' </tex>, <tex> G' \cup \{ \langle u, v \rangle \}</tex> также является подграфом некоторого минимального остовного дерева графа <tex> G </tex>.
 
Ребро <tex> \langle u, v \rangle \notin G' </tex> называется '''безопасным''', если при добавлении его в <tex> G' </tex>, <tex> G' \cup \{ \langle u, v \rangle \}</tex> также является подграфом некоторого минимального остовного дерева графа <tex> G </tex>.
  
'''Разрезом''' неориентированного графа <tex> G = \langle V, E \rangle </tex> называется разбиение <tex> V </tex> на два непересекающихся подмножества: <tex> S </tex> и <tex> T = V \setminus S </tex>.  Обозначается как <tex> \langle S, T \rangle </tex>.
+
'''Разрезом''' неориентированного графа <tex> G = \langle V, E \rangle </tex> (англ. ''cut'') называется разбиение <tex> V </tex> на два непересекающихся подмножества: <tex> S </tex> и <tex> T = V \setminus S </tex>.  Обозначается как <tex> \langle S, T \rangle </tex>.
  
 
Ребро <tex> \langle u, v \rangle \in E </tex> '''пересекает разрез''' <tex> \langle S, T \rangle </tex>, если один из его концов принадлежит множеству <tex> S </tex>, а другой {{---}} множеству <tex> T </tex>.
 
Ребро <tex> \langle u, v \rangle \in E </tex> '''пересекает разрез''' <tex> \langle S, T \rangle </tex>, если один из его концов принадлежит множеству <tex> S </tex>, а другой {{---}} множеству <tex> T </tex>.
Строка 22: Строка 22:
 
Рассмотрим связный неориентированный взвешенный граф <tex> G = \langle V, E \rangle </tex> с весовой функцией <tex>w : E \to \mathbb{R}</tex>. Пусть <tex> G' = \langle V, E' \rangle </tex> {{---}} подграф некоторого минимального остовного дерева <tex> G </tex>, <tex> \langle S, T \rangle </tex> {{---}} разрез <tex> G </tex>, такой, что ни одно ребро из <tex> E' </tex> не пересекает разрез, а <tex> \langle u, v \rangle </tex> {{---}} ребро минимального веса среди всех ребер, пересекающих разрез <tex> \langle S, T \rangle </tex>. Тогда ребро <tex> e = \langle u, v \rangle </tex> является безопасным для <tex> G'</tex>.
 
Рассмотрим связный неориентированный взвешенный граф <tex> G = \langle V, E \rangle </tex> с весовой функцией <tex>w : E \to \mathbb{R}</tex>. Пусть <tex> G' = \langle V, E' \rangle </tex> {{---}} подграф некоторого минимального остовного дерева <tex> G </tex>, <tex> \langle S, T \rangle </tex> {{---}} разрез <tex> G </tex>, такой, что ни одно ребро из <tex> E' </tex> не пересекает разрез, а <tex> \langle u, v \rangle </tex> {{---}} ребро минимального веса среди всех ребер, пересекающих разрез <tex> \langle S, T \rangle </tex>. Тогда ребро <tex> e = \langle u, v \rangle </tex> является безопасным для <tex> G'</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
[[Файл:Лемма_о_безопасном_ребре.png‎|right|thumb|400px]]
+
[[Файл:Лемма_о_безопасном_ребре.png‎|right|thumb|300px]]
Достроим <tex> E' </tex> до некоторого минимального остовного дерева, обозначим его <tex>T_{min}</tex>. Если ребро <tex>e \in T_{min}</tex>, то лемма доказана, поэтому рассмотрим случай, когда ребро <tex>e \notin T_{min}</tex>. Рассмотрим путь в <tex>T_{min}</tex> от вершины <tex>u</tex> до вершины <tex>v</tex>. Так как эти вершины принадлежат разным долям разреза, то хотя бы одно ребро пути пересекает разрез, назовем его <tex>e'</tex>. По условию леммы <tex>w(e) \le w(e')</tex>. Заменим ребро <tex>e</tex> в <tex>T_{min}</tex> на ребро <tex>e'</tex>. Полученное дерево также является минимальным остовным деревом графа <tex>G</tex>, поскольку все вершины <tex>G</tex> по-прежнему связаны и вес дерева не увеличился. Следовательно <tex>E' \cup \{e\} </tex> можно дополнить до минимального остовного дерева в графе <tex>G</tex>, то есть ребро <tex>e</tex> {{---}} безопасное.
+
Достроим <tex> E' </tex> до некоторого минимального остовного дерева, обозначим его <tex>T_{min}</tex>. Если ребро <tex>e \in T_{min}</tex>, то лемма доказана, поэтому рассмотрим случай, когда ребро <tex>e \notin T_{min}</tex>. Рассмотрим путь в <tex>T_{min}</tex> от вершины <tex>u</tex> до вершины <tex>v</tex>. Так как эти вершины принадлежат разным долям разреза, то хотя бы одно ребро пути пересекает разрез, назовем его <tex>e'</tex>. По условию леммы <tex>w(e) \leqslant w(e')</tex>. Заменим ребро <tex>e</tex> в <tex>T_{min}</tex> на ребро <tex>e'</tex>. Полученное дерево также является минимальным остовным деревом графа <tex>G</tex>, поскольку все вершины <tex>G</tex> по-прежнему связаны и вес дерева не увеличился. Следовательно <tex>E' \cup \{e\} </tex> можно дополнить до минимального остовного дерева в графе <tex>G</tex>, то есть ребро <tex>e</tex> {{---}} безопасное.
 
}}
 
}}
  
==Литература==
 
* Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. {{---}} Алгоритмы. Построение и анализ.
 
 
==Cм. также==
 
==Cм. также==
 
*[[Алгоритм Прима]]
 
*[[Алгоритм Прима]]
 
*[[Алгоритм Краскала]]
 
*[[Алгоритм Краскала]]
 +
*[[Алгоритм Борувки]]
 +
 +
==Источники информации==
 +
* Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. {{---}} Алгоритмы. Построение и анализ.
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Остовные деревья ]]
 
[[Категория: Остовные деревья ]]

Версия 11:05, 10 января 2015

Необходимые определения

Рассмотрим связный неориентированный взвешенный граф [math] G =\langle V, E \rangle [/math], где [math]V [/math] — множество вершин, [math]E [/math] — множество ребер. Вес ребра определяется, как функция [math] w : E \to \mathbb{R} [/math].

Определение:
Минимальное остовное дерево (англ. minimum spanning tree) графа [math] G = \langle V, E \rangle [/math] — это его ациклический связный подграф, в который входят все его вершины, обладающий минимальным суммарным весом ребер.

Заметим, что граф может содержать несколько минимальных остовных деревьев. Для формулировки и доказательства леммы о безопасном ребре рассмотрим следующие определения.

Определение:
Пусть [math]G'[/math] — подграф некоторого минимального остовного дерева графа [math] G = \langle V, E \rangle [/math].

Ребро [math] \langle u, v \rangle \notin G' [/math] называется безопасным, если при добавлении его в [math] G' [/math], [math] G' \cup \{ \langle u, v \rangle \}[/math] также является подграфом некоторого минимального остовного дерева графа [math] G [/math].

Разрезом неориентированного графа [math] G = \langle V, E \rangle [/math] (англ. cut) называется разбиение [math] V [/math] на два непересекающихся подмножества: [math] S [/math] и [math] T = V \setminus S [/math]. Обозначается как [math] \langle S, T \rangle [/math].

Ребро [math] \langle u, v \rangle \in E [/math] пересекает разрез [math] \langle S, T \rangle [/math], если один из его концов принадлежит множеству [math] S [/math], а другой — множеству [math] T [/math].


Лемма о безопасном ребре

Теорема:
Рассмотрим связный неориентированный взвешенный граф [math] G = \langle V, E \rangle [/math] с весовой функцией [math]w : E \to \mathbb{R}[/math]. Пусть [math] G' = \langle V, E' \rangle [/math] — подграф некоторого минимального остовного дерева [math] G [/math], [math] \langle S, T \rangle [/math] — разрез [math] G [/math], такой, что ни одно ребро из [math] E' [/math] не пересекает разрез, а [math] \langle u, v \rangle [/math] — ребро минимального веса среди всех ребер, пересекающих разрез [math] \langle S, T \rangle [/math]. Тогда ребро [math] e = \langle u, v \rangle [/math] является безопасным для [math] G'[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Лемма о безопасном ребре.png
Достроим [math] E' [/math] до некоторого минимального остовного дерева, обозначим его [math]T_{min}[/math]. Если ребро [math]e \in T_{min}[/math], то лемма доказана, поэтому рассмотрим случай, когда ребро [math]e \notin T_{min}[/math]. Рассмотрим путь в [math]T_{min}[/math] от вершины [math]u[/math] до вершины [math]v[/math]. Так как эти вершины принадлежат разным долям разреза, то хотя бы одно ребро пути пересекает разрез, назовем его [math]e'[/math]. По условию леммы [math]w(e) \leqslant w(e')[/math]. Заменим ребро [math]e[/math] в [math]T_{min}[/math] на ребро [math]e'[/math]. Полученное дерево также является минимальным остовным деревом графа [math]G[/math], поскольку все вершины [math]G[/math] по-прежнему связаны и вес дерева не увеличился. Следовательно [math]E' \cup \{e\} [/math] можно дополнить до минимального остовного дерева в графе [math]G[/math], то есть ребро [math]e[/math] — безопасное.
[math]\triangleleft[/math]

Cм. также

Источники информации

  • Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. — Алгоритмы. Построение и анализ.