Перечислимые языки

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Полуразрешимый язык — язык, для которого существует программа [math]p[/math] такая, что [math]\forall x \in L \Leftrightarrow p(x)=1[/math].


Определение:
Перечислимый язык — язык, для которого существует программа [math]g[/math] такая, что [math]g(i) = x_i, L = \{x_1, x_2, .., x_n, ..\}[/math].


Определение:
Пусть имеется некоторая программа [math]p[/math], которая может либо завершиться за конечное время и что-то вернуть, либо зависнуть. Запуск программы [math]p[/math] с тайм-лимитом [math]TL[/math] будем обозначать как [math]p|_{TL}[/math] и иметь в виду следующее: если за [math]TL[/math] операций программа [math]p[/math] корректно завершилась и что-то вернула, то [math]p|_{TL}[/math] вернёт то же самое; если же за [math]TL[/math] операций программа [math]p[/math] не успела завершиться, то [math]p|_{TL}[/math] вернёт [math]\bot[/math] (символ зависания).


Теорема:
[math]L[/math] — перечислимый [math]\Leftrightarrow L[/math] — полуразрешимый.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]L[/math] — перечислимый язык, тогда для него существует программа [math]g[/math] которая по номеру [math]i[/math] выводит слово из [math]L[/math]. Значит для [math]\forall x \in L [/math], путем перебора значений функции [math]g[/math], мы можем найти такое [math]i[/math], что [math] g(i) [/math] равно [math] x[/math]. Следовательно существует программа [math]p[/math] такая, что [math]\forall x \in L \Leftrightarrow p(x)=1[/math]. Тогда [math]L[/math] является полуразрешимым языком.

[math]p(x):[/math]
  for [math] i = 1 ~ .. ~ \infty[/math]
    if [math] g(i) == x[/math]
      return [math] 1[/math]

Пусть [math]L[/math] — полуразрешимый язык, тогда для него существует программа [math]p[/math], результат которой равен [math]1[/math] для любого слова из [math]L[/math]. Чтобы программа [math]p[/math] не зависала на словах которые не принадлежат [math]L[/math], будем запускать ее с тайм-лимитом. Для поиска [math]i[/math] слова из языка [math]L[/math] будем перебирать [math]k[/math] — тайм-лимит с которым будем запускать программу [math]p[/math]. Таким образом существует программа [math]g_0[/math], которая выводит [math]i[/math] слово языка [math]L[/math] с повторениями. Для того, чтобы выводить слова без повторений заведем множество [math]U[/math] в котором будем хранить уже выведенные слова. Программа [math]g[/math] доказывает, что [math]L[/math] является перечислимым языком.

[math]g_0(i):[/math]
  [math]cnt = 0[/math]
  for [math] k = 1 ~ .. ~ \infty[/math]
    for [math] x \in \{x_1, x_2, .., x_k\}[/math]
      if [math] p|_k(x) == 1[/math]
        [math]cnt[/math]++
      if [math] cnt == i[/math]
        return [math] x[/math]
[math]g(i):[/math]
  [math]U = \emptyset[/math]
  for [math] j = 1 ~ .. ~ \infty[/math]
    [math]x = g_0(j)[/math]
    if [math] x \notin U[/math]
      [math]cnt[/math]++
    if [math] cnt == i[/math]
      return [math] x[/math]
    [math]U.insert(x)[/math]
Приведённые программы доказывают эквивалентность определений.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Любой разрешимый язык [math]L[/math] является перечислимым.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Любой разрешимый язык [math]L[/math] является полуразрешимым. Так как любой полуразрешимый язык является перечислимым, то [math]L[/math] является перечислимым.
[math]\triangleleft[/math]

Литература

  • Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7