Решение RMQ с помощью разреженной таблицы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Разреженная таблица)
(Применение к задаче RMQ)
Строка 39: Строка 39:
 
== Применение к задаче RMQ ==
 
== Применение к задаче RMQ ==
 
[[Файл:SparseTableRMQ.png|right|Решение задачи RMQ на разреженной таблице]]
 
[[Файл:SparseTableRMQ.png|right|Решение задачи RMQ на разреженной таблице]]
<div> Предпосчитаем длину отрезка <tex>k</tex>. Это можно сделать за <tex>O(N\log N)</tex> введением функции <tex>fl[l] = k</tex>, для которой верно <tex>fl[1] = 0, fl[x] = fl[\lfloor \frac{x}{2}\rfloor] + 1</tex>.
+
<div> Предпосчитаем для длины отрезка <tex>l</tex> величину <tex>k =\lfloor \log_2l \rfloor</tex>. Это можно сделать за <tex>O(N\log N)</tex> введением функции <tex>fl[l] = k</tex>, для которой верно <tex>fl[1] = 0, fl[x] = fl[\lfloor \frac{x}{2}\rfloor] + 1</tex>.
  
 
Пусть теперь дан запрос <tex>(l, r)</tex>.  Заметим, что <tex>\min(A[l], A[l+1], ..., A[r]) = \min\left(ST[l][k], ST[r-2^k+1][j]\right)</tex>, где <tex>k = \max \{j| 2^j \le r - l + 1\}</tex>, т.е. логарифм длины запрашиваемого отрезка, округленный вниз. Но эту величину мы уже предпосчитали, поэтому запрос выполняется за <tex>O (1)</tex>.
 
Пусть теперь дан запрос <tex>(l, r)</tex>.  Заметим, что <tex>\min(A[l], A[l+1], ..., A[r]) = \min\left(ST[l][k], ST[r-2^k+1][j]\right)</tex>, где <tex>k = \max \{j| 2^j \le r - l + 1\}</tex>, т.е. логарифм длины запрашиваемого отрезка, округленный вниз. Но эту величину мы уже предпосчитали, поэтому запрос выполняется за <tex>O (1)</tex>.

Версия 15:08, 7 мая 2012

Разреженная таблица (англ. sparse table) позволяет решать задачу online static RMQ за [math]O(1)[/math] на запрос, с предподсчётом за [math]O(N \log N)[/math] и использованием [math]O(N \log N)[/math] памяти.

Постановка задачи RMQ

Дан массив [math]A[1..N][/math] целых чисел. Поступают запросы вида [math](l, r)[/math]: требуется найти минимум среди элементов [math]A[l], A[l + 1], \dots, A[r] [/math].

Разреженная таблица

Разреженная таблица — двумерная структура данных [math]ST[i, j][/math], для которой выполнено следующее:

[math]ST[i][j]=\min\left(A[i], A[i+1], ..., A[i+2^{j}-1]\right),\quad j \in [0 .. \log N][/math].

Иначе говоря, в этой таблице хранятся минимумы на всех отрезках, длины которых равны степеням двойки. Объём памяти, занимаемый таблицей, равен [math]O(N \log N)[/math], и заполненными являются только те элементы, для которых [math]i+2^j \le N [/math].

Простой метод построения таблицы заключён в следующем реккурентном соотношении:

[math] ST[i][j] = \left\{ \begin{array}{rcl} \min\left(ST[i][j-1], ST[i+2^{j-1}][j-1]\right), j \gt 0 \\ A[i], j = 0. \\ \end{array} \right. [/math]

Идемпотентность

Такая простота достигается за счет идемпотентности операции минимум: [math]\min(a, a)=a[/math]. Это один из ключевых моментов этого метода, так как она позволяет нам корректно считать минимум в области пересечения отрезков. <wikitex> Пусть $\circ$ — произвольная бинарная операция, которая удовлетворяет свойствам:

  • ассоциативности: $a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c $;
  • коммутативности: $a \circ b = b \circ a$;
  • идемпотентности: $a \circ a = a $.


Утверждение:
$a_l \circ a_{l+1} \circ \dots \circ a_r = (a_l \circ a_{l+1} \circ \dots \circ a_k) \circ (a_{r - k} \circ a_{r - k + 1} \circ \dots \circ a_r)$, где $l \leqslant k \leqslant r$.
[math]\triangleright[/math]
Отрезок $(a_{r-k}, a_k)$ содержится в обои операндах правой части. Значит, каждый элемент из него входит два раза. По коммутативности мы можем располагать элементы в любом порядке, по ассоциативности мы можем выполнять операции в произвольном порядке, поэтому повторяющие в правой части элементы мы можем расположить рядом друг с другом и затем по идемпотентности один из них убрать. Переставляя оставшиеся элементы в правой затем легко получаем выражение в левой части.
[math]\triangleleft[/math]

</wikitex>

Применение к задаче RMQ

Решение задачи RMQ на разреженной таблице
Предпосчитаем для длины отрезка [math]l[/math] величину [math]k =\lfloor \log_2l \rfloor[/math]. Это можно сделать за [math]O(N\log N)[/math] введением функции [math]fl[l] = k[/math], для которой верно [math]fl[1] = 0, fl[x] = fl[\lfloor \frac{x}{2}\rfloor] + 1[/math].

Пусть теперь дан запрос [math](l, r)[/math]. Заметим, что [math]\min(A[l], A[l+1], ..., A[r]) = \min\left(ST[l][k], ST[r-2^k+1][j]\right)[/math], где [math]k = \max \{j| 2^j \le r - l + 1\}[/math], т.е. логарифм длины запрашиваемого отрезка, округленный вниз. Но эту величину мы уже предпосчитали, поэтому запрос выполняется за [math]O (1)[/math].

Стоит отметить, что этот метод работает не только с операцией минимум, но и с любой идемпотентной, ассоциативной и коммутативной операцией, так как отрезки [math](l, 2^k)[/math] и [math](r - 2^k, r)[/math], на которых мы считаем ответ, есть те самые из доказанного утверждения. Таким образом мы получаем целый класс задач, решаемых разреженной таблицей.

См. также

Источники

  • Bender, M.A., Farach-Colton, M. et al.Lowest common ancestors in trees and directed acyclic graphs. — J. Algorithms 57(2) (2005) — с. 75–94.