Сложение и разность потоков — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Лемма о разности)
Строка 2: Строка 2:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> G = (V, E) </tex> - транспортная сеть с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, а <tex>f</tex> - поток в <tex>G</tex>. Пусть <tex>G_f</tex> - остаточная сеть в <tex>G</tex>, порожденная потоком <tex>f</tex>, а <tex>f'</tex> - поток в <tex>G_f</tex>. Тогда сумма потоков <tex>f + f'</tex>, определяемая уравнением <tex>(f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v)</tex>, является потоком в <tex>G</tex>, и величина этого потока равна <tex>|f + f'| = |f| + |f'|</tex>.
+
Пусть <tex> G = (V, E) </tex> - [[Определение_сети,_потока#flow_network|транспортная сеть]] с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, а <tex>f</tex> - [[Определение_сети,_потока#flow|поток]] в <tex>G</tex>. Пусть <tex>G_f</tex> - [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь#residual_network|остаточная сеть]] в <tex>G</tex>, порожденная потоком <tex>f</tex>, а <tex>f'</tex> - поток в <tex>G_f</tex>. Тогда сумма потоков <tex>f + f'</tex>, определяемая уравнением <tex>(f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v)</tex>, является потоком в <tex>G</tex>, и [[Определение_сети,_потока#flow|величина]] этого потока равна <tex>|f + f'| = |f| + |f'|</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Необходимо проверить, выполняются ли ограничения антисимметричности, пропускной способности и сохранения потока.
+
Необходимо проверить, выполняются ли ограничения антисимметричности, пропускной способности и сохранения [[Определение_сети,_потока#flow|потока]].
 
   
 
   
 
1) Для подтверждения антисимметричности заметим, что для всех <tex>(u,v) \in V</tex> справедливо:
 
1) Для подтверждения антисимметричности заметим, что для всех <tex>(u,v) \in V</tex> справедливо:
Строка 23: Строка 23:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
Также есть аналогичная лемма о разности потоков. Пусть <tex> G = (V, E) </tex> - транспортная сеть с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, а <tex>h</tex> и <tex>f</tex> - потоки в <tex>G</tex>. Пусть <tex>G_f</tex> - остаточная сеть в <tex>G</tex>, порожденная потоком <tex>f</tex>. Тогда разность потоков <tex>h - f</tex>, определяемая уравнением <tex>(h - f)(u, v) = h(u,v) - f(u,v)</tex>, является потоком в <tex>G_f</tex>, и величина этого потока равна <tex>|h - f| = |h| - |f|</tex>.
+
Также есть аналогичная лемма о разности потоков. Пусть <tex> G = (V, E) </tex> - транспортная сеть с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, а <tex>h</tex> и <tex>f</tex> - [[Определение_сети,_потока#flow|потоки]] в <tex>G</tex>. Пусть <tex>G_f</tex> - [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь#residual_network|остаточная сеть]] в <tex>G</tex>, порожденная потоком <tex>f</tex>. Тогда разность потоков <tex>h - f</tex>, определяемая уравнением <tex>(h - f)(u, v) = h(u,v) - f(u,v)</tex>, является потоком в <tex>G_f</tex>, и величина этого потока равна <tex>|h - f| = |h| - |f|</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
 
Антисимметричность и правило сохранения потока для <tex>h - f</tex> проверяются аналогично лемме о сложении потоков.
 
Антисимметричность и правило сохранения потока для <tex>h - f</tex> проверяются аналогично лемме о сложении потоков.
Строка 31: Строка 31:
 
<tex>(h - f)(u,v) = h(u,v) - f(u,v) \le c(u,v) - f(u,v) = c_f(u,v) </tex>.  
 
<tex>(h - f)(u,v) = h(u,v) - f(u,v) \le c(u,v) - f(u,v) = c_f(u,v) </tex>.  
  
Теперь покажем, что величина потока <tex>h - f</tex> равна разности величин потоков <tex>h</tex> и <tex>f</tex>.
+
Теперь покажем, что [[Определение_сети,_потока#flow|величина]] потока <tex>h - f</tex> равна разности величин потоков <tex>h</tex> и <tex>f</tex>.
  
 
<tex> |h - f| = \sum\limits_{v\in V} (h - f)(s, v) = \sum\limits_{v\in V} (h(s,v) - f(s,v)) </tex> <tex>= \sum\limits_{v\in V} h(s,v) - \sum\limits_{v\in V} f(s,v) = |h| - |f|</tex>
 
<tex> |h - f| = \sum\limits_{v\in V} (h - f)(s, v) = \sum\limits_{v\in V} (h(s,v) - f(s,v)) </tex> <tex>= \sum\limits_{v\in V} h(s,v) - \sum\limits_{v\in V} f(s,v) = |h| - |f|</tex>

Версия 15:20, 6 января 2014

Лемма о сложении потоков

Лемма:
Пусть [math] G = (V, E) [/math] - транспортная сеть с источником [math]s[/math] и стоком [math]t[/math], а [math]f[/math] - поток в [math]G[/math]. Пусть [math]G_f[/math] - остаточная сеть в [math]G[/math], порожденная потоком [math]f[/math], а [math]f'[/math] - поток в [math]G_f[/math]. Тогда сумма потоков [math]f + f'[/math], определяемая уравнением [math](f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v)[/math], является потоком в [math]G[/math], и величина этого потока равна [math]|f + f'| = |f| + |f'|[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Необходимо проверить, выполняются ли ограничения антисимметричности, пропускной способности и сохранения потока.

1) Для подтверждения антисимметричности заметим, что для всех [math](u,v) \in V[/math] справедливо:

[math] (f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v) = -f(v,u) - f'(v,u) [/math] [math] = -(f(v,u) + f'(v,u)) = -(f + f')(v,u)[/math]


2) Покажем соблюдение ограничений пропускной способности. Заметим, что [math]f'(u,v) \le c_f(u,v)[/math] для всех [math]u,v \in V [/math] и [math] c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v) [/math]. Тогда
[math](f + f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) \le f(u,v) + (c(u,v) - f(u,v)) = c(u,v) [/math].


3) Заметим, что для всех [math]u \in V - \{s,t\}[/math] справедливо равенство
[math] \sum\limits_{v\in V} (f + f')(u, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(u,v) + f'(u,v)) = \sum\limits_{v\in V} f(u,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(u,v) = 0 + 0 = 0[/math]

[math] |f + f'| = \sum\limits_{v\in V} (f + f')(s, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(s,v) + f'(s,v)) [/math] [math]= \sum\limits_{v\in V} f(s,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(s,v) = |f| + |f'|[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Аналогичная лемма о разности потоков

Лемма:
Также есть аналогичная лемма о разности потоков. Пусть [math] G = (V, E) [/math] - транспортная сеть с источником [math]s[/math] и стоком [math]t[/math], а [math]h[/math] и [math]f[/math] - потоки в [math]G[/math]. Пусть [math]G_f[/math] - остаточная сеть в [math]G[/math], порожденная потоком [math]f[/math]. Тогда разность потоков [math]h - f[/math], определяемая уравнением [math](h - f)(u, v) = h(u,v) - f(u,v)[/math], является потоком в [math]G_f[/math], и величина этого потока равна [math]|h - f| = |h| - |f|[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Антисимметричность и правило сохранения потока для [math]h - f[/math] проверяются аналогично лемме о сложении потоков.

Покажем соблюдение ограничений пропускной способности.

[math](h - f)(u,v) = h(u,v) - f(u,v) \le c(u,v) - f(u,v) = c_f(u,v) [/math].

Теперь покажем, что величина потока [math]h - f[/math] равна разности величин потоков [math]h[/math] и [math]f[/math].

[math] |h - f| = \sum\limits_{v\in V} (h - f)(s, v) = \sum\limits_{v\in V} (h(s,v) - f(s,v)) [/math] [math]= \sum\limits_{v\in V} h(s,v) - \sum\limits_{v\in V} f(s,v) = |h| - |f|[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Литература

  • Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ.[1] — 2-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. — С. 1296.