Сортировка слиянием — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 42: Строка 42:
  
 
===Рекурсивный алгоритм===
 
===Рекурсивный алгоритм===
Функция сортирует подотрезок массива с индексами в полуинтервале [left; right).
+
Функция сортирует подотрезок массива с индексами в полуинтервале <tex>[left; right)</tex>.
 
[[Файл:Merge sort1.png|300px|thumb|Пример работы рекурсивного алгоритма сортировки слиянием]]
 
[[Файл:Merge sort1.png|300px|thumb|Пример работы рекурсивного алгоритма сортировки слиянием]]
  
Строка 53: Строка 53:
 
     Merge(A, left, mid, right)
 
     Merge(A, left, mid, right)
  
 +
===Итеративный алгоритм===
 +
Функция сортирует подотрезок массива с индексами в полуинтервале <tex>[left; right)</tex>.
 +
 +
MergeSortIterative(A : '''int[1..N]'''; left, right : '''int'''):
 +
    '''for''' i = 1 '''to''' N, i *= 2
 +
        '''for''' j = left '''to''' right - i, j += 2 * i
 +
            Merge(A, j, j + i, min(j + 2 * i, right))
 +
 
==Время работы==
 
==Время работы==
 
Чтобы оценить время работы этого алгоритма, составим рекуррентное соотношение. Пускай <tex>T(n)</tex> — время сортировки массива длины n, тогда для сортировки слиянием справедливо <tex>T(n)=2T(n/2)+O(n)</tex> <br>
 
Чтобы оценить время работы этого алгоритма, составим рекуррентное соотношение. Пускай <tex>T(n)</tex> — время сортировки массива длины n, тогда для сортировки слиянием справедливо <tex>T(n)=2T(n/2)+O(n)</tex> <br>
Строка 71: Строка 79:
 
* [[Сортировка кучей]]
 
* [[Сортировка кучей]]
 
* [[Быстрая сортировка]]
 
* [[Быстрая сортировка]]
*[[Cортировка слиянием с использованием O(1) дополнительной памяти]]
+
*[[Сортировка слиянием с использованием O(1) дополнительной памяти]]
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Сортировка]]
 
[[Категория: Сортировка]]
 
[[Категория: Сортировки на сравнениях]]
 
[[Категория: Сортировки на сравнениях]]

Версия 11:21, 9 мая 2015

Описание

Сортировка слиянием — алгоритм сортировки. Он был пред­ло­жен Джо­ном фон Ней­ма­ном в 1945 го­ду.

Это устойчивый ал­го­ритм, использующий [math]O(n)[/math] дополнительной памяти и [math]O(n[/math] [math]\log n)[/math] времени.

Принцип работы

Пример работы процедуры слияния.

Алгоритм использует прицип «разделяй и властвуй»: задача разбивается на подзадачи меньшего размера, которые решаются по отдельности, после чего их решения комбинируются для получения решения исходной задачи. Конкретно процедуру сортировки слиянием можно описать следующим образом:

  1. Если в рассматриваемом массиве один элемент, то он уже отсортирован — алгоритм завершает работу.
  2. Иначе массив разбивается на две части, которые сортируются рекурсивно.
  3. После сортировки двух частей массива к ним применяется процедура слияния, которая по двум отсортированным частям получает исходный отсортированный массив.

Слияние двух массивов

У нас есть два массива [math]A[/math] и [math]B[/math] (фактически это будут две части одного массива, но для удобства будем писать, что у нас просто два массива). Нам надо получить массив [math]C[/math] размером [math]|A| + |B|[/math]. Для этого можно применить процедуру слияния. Эта процедура заключается в том, что мы сравниваем элементы массивов (начиная с начала) и меньший из них записываем в финальный. И затем, в массиве у которого оказался меньший элемент, переходим к следующему элементу и сравниваем теперь его. В конце, если один из массивов закончился, мы просто дописываем в финальный другой массив. После мы наш финальный массив записываем заместо двух исходных и получаем отсортированный участок.

Ниже приведён псевдокод процедуры слияния, который сливает две части массива A — [math][left; mid)[/math] и [math][mid; right)[/math]

Merge(A : int[1..N]; left, mid, right : int):
    it1 = 0
    it2 = 0
    result : int[right - left]
  
    while left + it1 < mid and mid + it2 < right
        if A[left + it1] < A[mid + it2]
            result[it1 + it2] = A[left + it1]
            it1 += 1
        else
            result[it1 + it2] = A[mid + it2]
            it2 += 1
  
    while left + it1 < mid
        result[it1 + it2] = A[left + it1]
        it1 += 1
  
    while mid + it2 < right
        result[it1 + it2] = A[mid + it2]
        it2 += 1
  
    for i = 0 to it1 + it2
        A[left + i] = result[i]

Рекурсивный алгоритм

Функция сортирует подотрезок массива с индексами в полуинтервале [math][left; right)[/math].

Пример работы рекурсивного алгоритма сортировки слиянием
MergeSort(A : int[1..N]; left, right : int):
    if left + 1 >= right
        return
    mid = (left + right) / 2
    MergeSort(A, left, mid)
    MergeSort(A, mid, right)
    Merge(A, left, mid, right)

Итеративный алгоритм

Функция сортирует подотрезок массива с индексами в полуинтервале [math][left; right)[/math].

MergeSortIterative(A : int[1..N]; left, right : int):
    for i = 1 to N, i *= 2
        for j = left to right - i, j += 2 * i
            Merge(A, j, j + i, min(j + 2 * i, right))

Время работы

Чтобы оценить время работы этого алгоритма, составим рекуррентное соотношение. Пускай [math]T(n)[/math] — время сортировки массива длины n, тогда для сортировки слиянием справедливо [math]T(n)=2T(n/2)+O(n)[/math]
([math]O(n)[/math] — это время, необходимое на то, чтобы слить два массива). Распишем это соотношение:

[math]T(n)=2T(n/2)+O(n)=4T(n/4)+2O(n)=\dots=2^kT(1)+kO(n)[/math].

Осталось оценить [math]k[/math]. Мы знаем, что [math]2^k=n[/math], а значит [math]k=\log n[/math]. Уравнение примет вид [math]T(n)=nT(1)+ \log n[/math] [math]O(n)[/math]. Так как [math]T(1)[/math] — константа, то [math]T(n)=O(n)+\log n [/math] [math]O(n)=O(n\log n)[/math].

Источники информации

Ссылки

См. также