Теорема Кэли

Теорема (Кэли(Cayley), о вложении любой конечной группы в группу перестановок):

Любая конечная группа [math]G[/math] порядка [math]n[/math] изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок (подгруппе симметрической группы [math]S_n[/math]).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\circ[/math] — бинарная операция в конечной группе [math]G=\{g_1, g_2,...,g_n\}[/math]. Для каждого элемента [math]g\in G[/math] построим соответствующую перестановку [math]f_g\in S_n:[/math] [math] f_g=\begin{bmatrix} g_1 & g_2 & ... & g_n \\ f_g(g_1) & f_g(g_2) & ... & f_g(g_n) \end{bmatrix},[/math] где [math]f_g(x) = g \circ x[/math]. [math]f_g[/math] — перестановка, так как Для любых [math]a, b\in G[/math] таких, что [math]a \neq b[/math] верно, что [math]g \circ a \neq g \circ b[/math] [math]\Rightarrow f_g[/math] — инъекция. Мощность [math]G[/math] — конечна [math]\Rightarrow f_g[/math] — биективно, и является перестановкой. Пусть [math]\circ[/math] — композиция двух перестановок. Если [math]f_g[/math] — перестановка, то [math]f_{g^{-1}}[/math] — обратная перестановка, где [math]g^{-1}[/math] — обратный элемент [math]g[/math], так как [math] (f_{g^{-1}} \circ f_g) (x) = f_{g^{-1}}(f_g (x)) =g^{-1} \circ g \circ x = x [/math]. Если [math]e[/math] — нейтральный элемент в группе, то [math]f_e[/math] — тождественная перестановка. Докажем,что множество всех перестановок [math]K = \{f_g : g \in G\}[/math] — подгруппа симметрической группы [math]S_n[/math]. Пусть [math]g_i,g_j\in G[/math].Рассмотрим перестановку [math](f_{g_i} \circ f_{g_j})(x)[/math]. Так как [math]G[/math] — группа, то для любого [math]x\in G[/math] верно [math](f_{g_i} \circ f_{g_j})(x) = f_{g_i}(f_{g_j}(x)) = {g_i} \circ {g_j} \circ x = f_{g_i \circ g_j}(x) = f_c(x) [/math], Так как [math]G[/math] — группа, то [math]g_i \circ g_j =g_k\in G[/math] и [math]f_{g_i \circ g_j}=f_{g_k}[/math], откуда [math]f_{g_i} \circ f_{g_j}\in K[/math]. Значит, [math]K[/math] — подгруппа группы [math]S_n[/math]. Осталось доказать, что [math]G[/math] и [math]K[/math] изоморфны. Для этого рассмотрим отображение [math]\varphi : G \rightarrow K,\[/math], которое переводит элемент [math]g\in G[/math] в элемент [math]\varphi(g)=f_{g^\prime}\in K[/math], где [math]{g^\prime}[/math] симметричен элементу [math]g[/math] в группе [math]G[/math]. Заметим, что Отображение [math]\varphi [/math] взаимно однозначно. Для любых [math]g_i,g_j\in G[/math] верно [math]\varphi (g_i \circ g_j) = f_{(g_i \circ g_j)^\prime} = [/math], то есть [math]T(g)\circ T(h) = T(g \circ h)[/math]. Значит [math]T[/math] — гомоморфизм. [math]T[/math] — инъекция, потому что [math]f_g(x) = f_{g'}(x) \Rightarrow g = f_g(x) \circ x^{-1} = f_{g'}(x) \circ x^{-1} = g'[/math]. Сюрьективность [math]T[/math] очевидна из определения [math]K[/math]. То есть [math]T[/math] — гомоморфизм и биекция, а значит изоморфизм [math]G[/math] и [math]K[/math] установлен.

[math]\triangleleft[/math]

Примеры

Примером и иллюстрацией для данной теоремы является группа [math] \mathbb Z_3[/math] — группа остатков по модулю 3, с операцией сложения.

Пусть [math]\ \varphi :\mathbb{Z}_3\rightarrow S_3[/math]

[math] \varphi(0)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} [/math]

[math] \varphi(1)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} [/math]

[math] \varphi(2)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

См. также

• Умножение перестановок, обратная перестановка, группа перестановок
• Действие перестановки на набор из элементов, представление в виде циклов
• Таблица инверсий
• Матричное представление перестановок

Источники информации

• Cayley's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia