Теоретический минимум по функциональному анализу за 6 семестр — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «= 1 <tex>A^*</tex> и его ограниченность. = = 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex>. = = 3 Ортог...»)
 
(1 A^* и его ограниченность.)
Строка 1: Строка 1:
 
= 1 <tex>A^*</tex> и его ограниченность. =
 
= 1 <tex>A^*</tex> и его ограниченность. =
 +
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.
 +
 +
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.
 +
 +
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.
 +
 +
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.
 +
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
 +
}}
 +
 
= 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex>. =
 
= 2 Ортогональные дополнения <tex>E</tex> и <tex>E^*</tex>. =
 
= 3 Ортогональное дополнение <tex>R(A)</tex>. =
 
= 3 Ортогональное дополнение <tex>R(A)</tex>. =

Версия 22:29, 9 июня 2013

Содержание

1 [math]A^*[/math] и его ограниченность.

Пусть оператор [math] A [/math] действует из [math] E [/math] в [math] F [/math], и функционал [math] \varphi [/math] принадлежит [math] F^* [/math].

Рассмотрим [math] f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| [/math].

Получили новый функционал [math] f [/math], принадлежащий [math] E^* [/math]. [math] \varphi \mapsto \varphi A [/math].

[math] \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* [/math]. [math] A^* [/math]сопряженный оператор к [math] A [/math].

Теорема:
Если [math] A [/math] — линейный ограниченный оператор, то [math] \| A^* \| = \| A \| [/math].

2 Ортогональные дополнения [math]E[/math] и [math]E^*[/math].

3 Ортогональное дополнение [math]R(A)[/math].

4 Ортогональное дополнение [math]R(A^*)[/math].

5 Арифметика компактных операторов.

6 О компактности [math]A^*[/math], сепарабельность [math]R(A)[/math].

7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве.

8 Почти конечномерность компактного оператора.

9 Размерность [math]\operatorname{Ker}(I-A)[/math] компактного [math]A[/math].

10 Замкнутость [math]R(I-A)[/math] компактного [math]A[/math].

11 Лемма о [math]\operatorname{Ker}(I-A)^n[/math] компактного [math]A[/math].

12 Условие справедливости равенства [math]R(I-A)=E[/math].

13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера.

14 Спектр компактного оператора.

15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для [math](a+ib)I-A[/math].

16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора.

17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора.

18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора.

19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел [math]m-[/math] и [math]m+[/math].

20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма.

21 Теорема Гильберта-Шмидта.

22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора.

23 Локальная сходимость метода простой итерации.

24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений.

25 Проекторы Шаудера.

26 Теорема Шаудера о неподвижной точке.