Удаление длинных правил из грамматики — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 2: Строка 2:
 
|definition =
 
|definition =
 
Пусть  <tex>\Gamma</tex> {{---}} [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]].
 
Пусть  <tex>\Gamma</tex> {{---}} [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]].
Правило <tex>A \rightarrow \beta </tex> называется '''длинным''', если <tex>|\beta| > 2</tex>.
+
Правило <tex>A \rightarrow \beta </tex> называется '''длинным''' (англ. ''long''), если <tex>|\beta| > 2</tex>.
 
}}  
 
}}  
  
== Постановка задачи ==
+
{{Задача
 +
|definition=
 
Пусть <tex>\Gamma</tex> {{---}} [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]], содержащая длинные правила. Требуется построить эквивалентную грамматику <tex>\Gamma'</tex>, не содержащую длинных правил. <br>
 
Пусть <tex>\Gamma</tex> {{---}} [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]], содержащая длинные правила. Требуется построить эквивалентную грамматику <tex>\Gamma'</tex>, не содержащую длинных правил. <br>
 
Задача удаления длинных правил из грамматики возникает при попытке её приведения к [[нормальная форма Хомского|нормальной форме Хомского]].
 
Задача удаления длинных правил из грамматики возникает при попытке её приведения к [[нормальная форма Хомского|нормальной форме Хомского]].
 +
}}
 +
  
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
 
С каждым длинным правилом <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>, <tex>k > 2</tex>, <tex>a_i \in \Sigma \cup N</tex> проделаем следующее:  
 
С каждым длинным правилом <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>, <tex>k > 2</tex>, <tex>a_i \in \Sigma \cup N</tex> проделаем следующее:  
#Добавим в грамматику <tex>k-2</tex> новых нетерминала <tex>B_1, B_2, \ldots B_{k-2}</tex>.  
+
* Добавим в грамматику <tex>k-2</tex> новых нетерминала <tex>B_1, B_2, \ldots B_{k-2}</tex>.  
#Добавим в грамматику <tex>k-1</tex> новое правило:  
+
* Добавим в грамматику <tex>k-1</tex> новое правило:  
#:<tex>A \rightarrow a_1B_1</tex>,
+
*;<tex>A \rightarrow a_1B_1</tex>
#:<tex>B_1 \rightarrow a_2B_2</tex>,
+
*;<tex>B_1 \rightarrow a_2B_2</tex>  
#:<tex>B_2 \rightarrow a_3B_3</tex>,
+
*;<tex>B_2 \rightarrow a_3B_3</tex>
#:<tex>\ldots </tex>
+
*;<tex>\ldots </tex>
#:<tex>B_{k-2} \rightarrow a_{k-1}a_{k}</tex>.  
+
*;<tex>B_{k-2} \rightarrow a_{k-1}a_{k}</tex>.  
#Удалим из грамматики правило <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>.  
+
* Удалим из грамматики правило <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>.  
 
=== Корректность алгоритма ===
 
=== Корректность алгоритма ===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 69: Строка 72:
 
* ''Michael Sipser'' Introduction to the Theory of Computation. — PWS Publishing, 1997. — ISBN 0-534-94728-X. (с 107.)
 
* ''Michael Sipser'' Introduction to the Theory of Computation. — PWS Publishing, 1997. — ISBN 0-534-94728-X. (с 107.)
 
* ''Michael A. Harrison'' Introduction to Formal Language Theory. — Addison-Wesley, 1978. — ISBN 978-0201029550. (с 103.)
 
* ''Michael A. Harrison'' Introduction to Formal Language Theory. — Addison-Wesley, 1978. — ISBN 978-0201029550. (с 103.)
* [[wikipedia:en:Chomsky_normal_form#Converting a grammar to Chomsky Normal Form | Wikipedia {{---}} Chomsky normal form]]  
+
* [[wikipedia:en:Chomsky_normal_form#Converting a grammar to Chomsky Normal Form | Wikipedia {{---}} Chomsky normal form]]
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
 
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]

Версия 00:38, 16 ноября 2014

Определение:
Пусть [math]\Gamma[/math]контекстно-свободная грамматика. Правило [math]A \rightarrow \beta [/math] называется длинным (англ. long), если [math]|\beta| \gt 2[/math].


Задача:
Пусть [math]\Gamma[/math]контекстно-свободная грамматика, содержащая длинные правила. Требуется построить эквивалентную грамматику [math]\Gamma'[/math], не содержащую длинных правил.
Задача удаления длинных правил из грамматики возникает при попытке её приведения к нормальной форме Хомского.


Алгоритм

С каждым длинным правилом [math]A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k[/math], [math]k \gt 2[/math], [math]a_i \in \Sigma \cup N[/math] проделаем следующее:

  • Добавим в грамматику [math]k-2[/math] новых нетерминала [math]B_1, B_2, \ldots B_{k-2}[/math].
  • Добавим в грамматику [math]k-1[/math] новое правило:
    [math]A \rightarrow a_1B_1[/math]
    [math]B_1 \rightarrow a_2B_2[/math]
    [math]B_2 \rightarrow a_3B_3[/math]
    [math]\ldots [/math]
    [math]B_{k-2} \rightarrow a_{k-1}a_{k}[/math].
  • Удалим из грамматики правило [math]A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k[/math].

Корректность алгоритма

Теорема:
Пусть [math]\Gamma[/math]контекстно-свободная грамматика. [math]\Gamma'[/math] — грамматика, полученная в результате применения алгоритма к [math]\Gamma[/math]. Тогда [math]L(\Gamma) = L(\Gamma').[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow [/math]
Покажем, что [math]L(\Gamma) \subseteq L(\Gamma')[/math].
Пусть [math]w \in L(\Gamma)[/math]. Рассмотрим вывод [math]w[/math]. Если в выводе используется длинное правило [math]A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k[/math], то заменим его на последовательное применение правил [math]A \rightarrow a_1B_1[/math], [math]B_1 \rightarrow a_2B_2[/math], [math]B_2 \rightarrow a_3B_3[/math], [math]\ldots [/math], [math]B_{k-2} \rightarrow a_{k-1}a_{k}[/math]. Получим вывод [math]w[/math] в [math]\Gamma'[/math].

[math]\Leftarrow [/math]
Покажем, что [math]L(\Gamma') \subseteq L(\Gamma)[/math]. Допустим, что это не так, то есть [math]\exists w \in L(\Gamma'), w \notin L(\Gamma)[/math]. Рассмотрим вывод [math]w[/math] в [math]\Gamma' \cup \Gamma[/math], минимальный по количеству примененных правил, отсутствующих в [math]\Gamma[/math]. Найдем в этом выводе первое применение некоторого правила [math]A \rightarrow a_1A_1, a_1 \in \Sigma \cup N[/math], которого нет в [math]\Gamma[/math]. В ходе алгоритма оно было получено из некоторого длинного правила [math]A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k[/math]. Применим [math]A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k[/math] вместо [math]A \rightarrow a_1A_1[/math] и удалим в выводе все применения правил, полученных из [math]A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k[/math].

Получим вывод [math]w[/math] в [math]\Gamma \cup \Gamma'[/math], в котором меньше применений правил, отсутствующих в [math]\Gamma[/math], чем в исходном. Противоречие.
[math]\triangleleft[/math]

Время работы алгоритма

Здесь будем понимать под [math] | \Gamma | [/math] сумму длин правых частей правил. Данный алгоритм добавляет в грамматику [math]O(\left| \Gamma \right|)[/math] новых нетерминалов, [math]O(\left| \Gamma \right|)[/math] новых правил длины [math]O(1)[/math] и, следовательно, работает за [math]O(\left| \Gamma \right|)[/math].

Пример работы

Покажем, как описанный алгоритм будет работать на следующей грамматике: [math]S \rightarrow AB[/math], [math]A \rightarrow aBcB[/math], [math]B \rightarrow def[/math].

Для правила [math]A \rightarrow aBcB[/math] вводим 2 новых нетерминала [math]A_1, A_2[/math] и 3 новых правила: [math]A \rightarrow aA_1[/math], [math]A_1 \rightarrow BA_2[/math], [math]A_2 \rightarrow cB[/math].

Для правила [math]B \rightarrow def[/math] вводим 1 новый нетерминал [math]B_1[/math] и 2 новых правила: [math]B \rightarrow dB_1[/math], [math]B_1 \rightarrow ef[/math].

В итоге полученная грамматика [math]\Gamma'[/math] будет иметь вид: [math]S \rightarrow AB[/math], [math]A \rightarrow aA_1[/math], [math]A_1 \rightarrow BA_2[/math], [math]A_2 \rightarrow cB[/math], [math]B \rightarrow dB_1[/math], [math]B_1 \rightarrow ef[/math].

См. также

Источники информации

  • Michael Sipser Introduction to the Theory of Computation. — PWS Publishing, 1997. — ISBN 0-534-94728-X. (с 107.)
  • Michael A. Harrison Introduction to Formal Language Theory. — Addison-Wesley, 1978. — ISBN 978-0201029550. (с 103.)
  • Wikipedia — Chomsky normal form