Цепные дроби для sqrtd и квадратичных иррациональностей — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 17: Строка 17:
 
<tex>\Leftarrow</tex>.
 
<tex>\Leftarrow</tex>.
  
Пусть <tex>a\alpha^2+b\alpha+c=0</tex>. Разложим <tex>\alpha</tex> в цепную дробь и для <tex>\all k:\alpha=\frac{P_k\alpha_k+P_{k-1}}{Q_k\alpha_k+Q_{k-1}}</tex>
+
Пусть <tex>a\alpha^2+b\alpha+c=0</tex>. Разложим <tex>\alpha</tex> в цепную дробь и для <tex>\forall k:\alpha=\frac{P_k\alpha_k+P_{k-1}}{Q_k\alpha_k+Q_{k-1}}</tex>
 
}}
 
}}

Версия 19:41, 2 июля 2010

Рассмотрим число [math]\alpha=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}[/math]. Заметим, что оно приведённое [math]\alpha\gt 1, [\sqrt{D}]-\sqrt{D}\in(-1;0)[/math]. Тогда сразу следуют следующие утверждения

  • число [math][\sqrt{D}]+\sqrt{D}[/math] представимо в виде чисто периодической цепной дроби.
  • [math]\sqrt{D}[/math] представимо в виде цепной дроби из [math]a_0[/math] и периода.
  • [math]\sqrt{D}=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}-a_0[/math] значит [math]\sqrt{D}=\langle a_0, \overline{a_1,\cdots, a_n, 2a_0} \rangle[/math].
Теорема (Лагранж):
Число[math]\alpha[/math] представимо в виде периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда [math]\alpha[/math] квадратичная иррациональность.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math].

[math]\alpha=\langle a_0,a_1,\cdots,\overline{a_k,\cdots a_n}\rangle[/math], тогда введём [math]\alpha_k=\langle \overline{a_k,\cdots, a_n}\rangle[/math]. Тогда [math]\alpha_k=\langle a_k,\cdots, a_n, \overline{\alpha_k} \rangle[/math]. [math]\alpha_k=\frac{P_n'\alpha_k+P_{n-1}'}{Q_n'\alpha_k+Q_{n-1}'}\Rightarrow Q_n'\alpha_k^2+(P_n'+Q_{n-1}')\alpha_k+P_{n-1}'=0[/math] Поэтому [math]\alpha_k[/math] квадратичная иррациональность, так как иррационально и удовлетворяет уравнению с целыми коэффициентами. Аналогично получим, что [math]\alpha = \frac{P_k\alpha_k+P_{k-1}}{Q_k\alpha_k+Q_{k-1}}[/math]. Поэтому и [math]\alpha[/math] квадратичная иррациональность.

[math]\Leftarrow[/math].

Пусть [math]a\alpha^2+b\alpha+c=0[/math]. Разложим [math]\alpha[/math] в цепную дробь и для [math]\forall k:\alpha=\frac{P_k\alpha_k+P_{k-1}}{Q_k\alpha_k+Q_{k-1}}[/math]
[math]\triangleleft[/math]