Редактирование: Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
[[Категория: Теория формальных языков]]
+
{{В разработке}}
==Автоматы с <tex  dpi = "155">\varepsilon</tex>-переходами==
+
Рассмотрим автомат, переходы в котором осуществляются по строкам.
Конечный автомат с <tex>\varepsilon</tex>-переходами {{---}} конечный автомат, в котором есть возможность совершать переходы по <tex>\varepsilon</tex>.
 
{{Определение
 
|definition='''<tex>\varepsilon</tex>-НКА''' или '''НКА с <tex>\varepsilon</tex>-переходами''' (англ. ''<tex>\varepsilon</tex>-moves'') {{---}} набор <tex>A={\langle\Sigma,Q,s,T,\delta\rangle}</tex>, где все компоненты имеют тот же смысл, что и для [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]], за исключением <tex>\delta : Q\times (\Sigma\cup\{\varepsilon\}) \to 2^Q</tex>.
 
}}
 
 
 
==Эквивалентность автоматов с переходами по строкам и НКА. <tex  dpi = "155">\varepsilon</tex>-замыкание==
 
Будем называть два автомата '''эквивалентными''', если они задают один и тот же язык.<br>
 
Рассмотрим автомат, в котором переходы  осуществляются по строкам. Это переходы вида <tex>\langle p,\alpha\beta\rangle\vdash\langle q,\beta\rangle</tex>, где <tex>\alpha,\beta</tex> {{---}} строки.
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|id=th1
 
|id=th1
 +
|about=О эквивалентности автоматов с переходами по строкам и НКА
 
|statement=
 
|statement=
Автоматы с переходами по строкам эквивалентны [[Недетерминированные_конечные_автоматы|недетерминированным конечным автоматам]].
+
Автоматы с переходами по строкам эквивалентны недетерминированным автоматам.
 
|proof=
 
|proof=
 
Рассмотрим два случая:
 
Рассмотрим два случая:
* <tex>\left | \alpha \right | \geqslant 1</tex>
+
* <tex>\left | \alpha \right | \ge 1</tex>
*:Заменим переходы по таким строкам на последовательности переходов по символам. А именно, пусть <tex>\alpha=a_1a_2 \ldots a_n</tex>, где <tex>a_1,a_2, \ldots ,a_n</tex> {{---}} символы. Заменим переход <tex>\langle p,\alpha\beta\rangle\vdash\langle q,\beta\rangle</tex> на переходы <tex>{\langle p,\alpha\beta\rangle\vdash\langle t_1, a_1^{-1}\alpha\beta\rangle},{\langle t_1,a_1^{-1}\alpha\beta\rangle\vdash\langle t_2,(a_1a_2)^{-1}\alpha\beta\rangle}, \ldots ,{\langle t_{n-1}, a_n\beta\rangle\vdash\langle q, \beta\rangle}.</tex>
 
 
* <tex>\left | \alpha \right | = 0 \Rightarrow \alpha = \varepsilon</tex>
 
* <tex>\left | \alpha \right | = 0 \Rightarrow \alpha = \varepsilon</tex>
*:Рассматриваем '''автомат <tex>A</tex> с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.''' Для доказательства его эквивалентности НКА построим его <tex>\varepsilon</tex>-замыкание.
+
Рассматриваем '''автомат А с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.''' Для доказательства его эквивалентности НКА посторим его <tex>\varepsilon</tex>-замыкание.
*:{{Определение
+
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''<tex>\varepsilon</tex>-замыкание''' (англ. ''<tex>\varepsilon</tex>-closure'') {{---}} построение по автомату с <tex>\varepsilon</tex>-переходами эквивалентного ему автомата без <tex>\varepsilon</tex>-переходов.
+
<tex>\varepsilon</tex>-замыкание (<tex>\varepsilon</tex>-closure) --- построение по автомату с <tex>\varepsilon</tex>-переходами эквивалентного ему автомата без <tex>\varepsilon</tex>-переходов.
 
}}
 
}}
 
Ход построения <tex>\varepsilon</tex>-замыкания:
 
Ход построения <tex>\varepsilon</tex>-замыкания:
 
#Транзитивное замыкание
 
#Транзитивное замыкание
#:Пусть <tex>B</tex> {{---}} подграф <tex>A</tex>, в котором есть только <tex>\varepsilon</tex>-переходы. Сделаем транзитивное замыкание графа <tex>B</tex>. Таким образом, получим из автомата <tex>A</tex> новый автомат <tex>A_1</tex>, который допускает тот же язык. Заметим, что если <tex>A_1</tex> допускает слово <tex>x</tex>, то он допускает <tex>x</tex>, не совершая двух <tex>\varepsilon</tex>-переходов подряд.
+
#Допускающие состояния
#Добавление допускающих состояний
+
#Добавление ребер
#:Пусть в <tex>A_1</tex> есть <tex>\varepsilon</tex>-переход из состояния <tex>u</tex> в состояние <tex>v</tex>, причем <tex>v</tex> {{---}} допускающее. Тогда, если текущее состояние <tex>u</tex> и строка закончилась, то её можно допустить. Во всех таких случаях сделаем <tex>u</tex> допускающим. Получим автомат <tex>A_2</tex>, обладающий тем же свойством, что и <tex>A_1</tex>, а также не совершающий <tex>\varepsilon</tex>-переходов в качестве последнего перехода.
 
#Добавление рёбер
 
#:Во всех случаях, когда <tex>{\delta(u,\varepsilon)=v}, {\delta(v,c)=w}</tex>, добавим переход <tex>\delta(u,c)=w</tex>. Заметим, что если полученный автомат <tex>A_3</tex> допускает <tex>x</tex>, то он допускает <tex>x</tex>, не совершая <tex>\varepsilon</tex>-переходов.
 
 
#Устранение <tex>\varepsilon</tex>-переходов
 
#Устранение <tex>\varepsilon</tex>-переходов
#:Из предыдущего замечания следует, что если теперь устранить <tex>\varepsilon</tex>-переходы, то допускаемый язык не изменится. Уберем из <tex>A_3</tex> все <tex>\varepsilon</tex>-переходы.
+
Получили НКА эквивалентный исходному автомату.
Получили НКА без <tex>\varepsilon</tex>-переходов, эквивалентный исходному автомату.
 
}}
 
 
 
==Совпадение множеств языков, допускаемых <tex  dpi = "155">\varepsilon</tex>-НКА и ДКА==
 
{{Утверждение
 
|id=th2
 
|statement=
 
Множество языков, допускаемых автоматами с <tex>\varepsilon</tex>-переходами, совпадает с множеством языков, допускаемых [[Детерминированные_конечные_автоматы|детерминированными конечными автоматами]].
 
|proof=[[Построение_по_НКА_эквивалентного_ДКА,_алгоритм_Томпсона|<tex> \mathcal{L}(</tex>ДКА<tex>) = \mathcal{L}(</tex>НКА<tex>)</tex>]]. По только что доказанной теореме, <tex> \mathcal{L}(</tex>НКА<tex>) = \mathcal{L}(</tex><tex>\varepsilon</tex>-НКА<tex>)</tex>. Значит, <tex> \mathcal{L}(</tex>ДКА<tex>) = \mathcal{L}(</tex><tex>\varepsilon</tex>-НКА<tex>)</tex>.
 
 
}}
 
}}
 
+
'''Следствие:''' множество языков, допускаемых автоматами с <tex>\varepsilon</tex>-переходами, совпадает с множеством языков, допускаемых ДКА.
== Применение ==
 
В некоторых случаях НКА с <tex>\varepsilon</tex>-переходами строятся проще, чем просто НКА и тем более ДКА для тех же языков. Доказанная выше эквивалентность <tex> \mathcal{L}(</tex>ДКА<tex>)</tex>,<tex>\mathcal{L}(</tex>НКА<tex>)</tex> и <tex>\mathcal{L}(</tex><tex>\varepsilon</tex>-НКА<tex>)</tex> позволяет нам при помощи алгоритма <tex>\varepsilon</tex>-замыкания легко приводить одно к другому и далее к третьему. Также свойства, доказанные выше, являются важной составляющей доказательства [[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)| теоремы Клини]].
 
 
 
==См. также==
 
*[[Недетерминированные конечные автоматы]]
 
*[[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)]]
 
 
 
==Источники информации==
 
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Nondeterministic_finite_automaton Wikipedia — Nondeterministic finite automaton]
 
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Nondeterministic_finite_automaton_with_%CE%B5-moves Wikipedia — Nondeterministic finite automaton with epsilon-moves]
 
 
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)