Алгебра — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Умножение линейных операторов)
(Умножение линейных операторов)
Строка 15: Строка 15:
  
 
|proof=1. <tex dpi = "160">\mathcal{C}e_i = \sum\limits_{k=1}^{p} \gamma_{i}^{k} l_k</tex>, т.е. <tex>\gamma_{i}^{k} = (C_{e_i})^k</tex> по определению матрицы <tex>C</tex>.<br>
 
|proof=1. <tex dpi = "160">\mathcal{C}e_i = \sum\limits_{k=1}^{p} \gamma_{i}^{k} l_k</tex>, т.е. <tex>\gamma_{i}^{k} = (C_{e_i})^k</tex> по определению матрицы <tex>C</tex>.<br>
2. <tex>\mathcal{C}e_i = \mathcal{B} (\mathcal{A} e_i) = \mathcal{B} (\sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} h_j) \overset{\mathcal{B} - lin.op}{=} \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} \mathcal{B}(h_j) = \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} (\sum\limits_{k=1}^{p} \beta_{j}^{k} l_k) = </tex><tex> \sum\limits_{k=1}^{p} (l_k \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_{j}^{k} \alpha_{i}^{j}) </tex>, тогда из 1 и 2: <br>
+
2. <tex dpi = "160">\mathcal{C}e_i = \mathcal{B} (\mathcal{A} e_i) = \mathcal{B} (\sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} h_j) \overset{\mathcal{B} - lin.op}{=} \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} \mathcal{B}(h_j) = \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} (\sum\limits_{k=1}^{p} \beta_{j}^{k} l_k) = </tex><tex> \sum\limits_{k=1}^{p} (l_k \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_{j}^{k} \alpha_{i}^{j}) </tex>, тогда из 1 и 2: <br>
 
<tex dpi = "160">\gamma_i^k = \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_{j}^{k} \alpha_{i}^{j} \overset{def}{\Leftrightarrow} C_{[p \times n]} = B_{[p \times m]} \times A_{[m \times n]} </tex>, для <tex>i = 1..n</tex> и <tex>k = 1..p</tex>
 
<tex dpi = "160">\gamma_i^k = \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_{j}^{k} \alpha_{i}^{j} \overset{def}{\Leftrightarrow} C_{[p \times n]} = B_{[p \times m]} \times A_{[m \times n]} </tex>, для <tex>i = 1..n</tex> и <tex>k = 1..p</tex>
 
}}
 
}}
  
 
==Алгебра линейных операторов. Изоморфизм алгебр.==
 
==Алгебра линейных операторов. Изоморфизм алгебр.==

Версия 14:12, 14 июня 2013

Умножение линейных операторов

Определение:
Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to Y [/math] и [math]\mathcal{B} \colon Y \to Z [/math], причём [math]\dim X = n[/math], [math]\dim Y = m[/math] и [math]\dim Z = p[/math].
Тогда отображение [math]\mathcal{C} \colon X \to Z[/math] называется называется произведением линейных операторов [math]\mathcal{B}[/math] и [math]\mathcal{A} \ (\mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A})[/math], если [math]\forall x \in X \colon \ \mathcal{C}(x) = \mathcal{B}(\mathcal{A}x)[/math]


Лемма:
Если [math]\mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}[/math], то [math]\mathcal{C}[/math] - линейный оператор, т.е. [math]\mathcal{C} \in X \times Z [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
УПРАЖНЕНИЕ
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]\{e_i\}_{i=1}^n[/math] - базис [math]X[/math], [math]\{h_k\}_{k=1}^m[/math] - базис [math]Y[/math], [math]\{l_s\}_{s=1}^p[/math] - базис [math]Z[/math] и пусть [math] A_{[m \times n]} = ||\alpha_k^i||[/math] - матрица [math]\mathcal{A}[/math], [math] B_{[p \times m]} = ||\beta_k^i||[/math] - матрица [math]\mathcal{B}[/math], [math]C_{[p \times n]} = ||\gamma_k^i||[/math] - матрица [math]\mathcal{C}[/math], где [math]\mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}[/math].
Тогда [math]C = B \cdot A[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. [math]\mathcal{C}e_i = \sum\limits_{k=1}^{p} \gamma_{i}^{k} l_k[/math], т.е. [math]\gamma_{i}^{k} = (C_{e_i})^k[/math] по определению матрицы [math]C[/math].
2. [math]\mathcal{C}e_i = \mathcal{B} (\mathcal{A} e_i) = \mathcal{B} (\sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} h_j) \overset{\mathcal{B} - lin.op}{=} \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} \mathcal{B}(h_j) = \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} (\sum\limits_{k=1}^{p} \beta_{j}^{k} l_k) = [/math][math] \sum\limits_{k=1}^{p} (l_k \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_{j}^{k} \alpha_{i}^{j}) [/math], тогда из 1 и 2:

[math]\gamma_i^k = \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_{j}^{k} \alpha_{i}^{j} \overset{def}{\Leftrightarrow} C_{[p \times n]} = B_{[p \times m]} \times A_{[m \times n]} [/math], для [math]i = 1..n[/math] и [math]k = 1..p[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Алгебра линейных операторов. Изоморфизм алгебр.