Алгебра — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Умножение линейных операторов)
(Умножение линейных операторов)
Строка 11: Строка 11:
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\{e_i\}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>X</tex>, <tex>\{h_k\}_{k=1}^m</tex> - базис <tex>Y</tex>, <tex>\{l_s\}_{s=1}^p</tex> - базис <tex>Z</tex> и пусть <tex> A_{[m \times n]} = ||\alpha_k^i||</tex> - матрица <tex>\mathcal{A}</tex>, <tex> B_{[p \times m]} = ||\beta_k^i||</tex> - матрица <tex>\mathcal{B}</tex>, <tex>C_{[p \times n]} = ||\gamma_k^i||</tex> - матрица <tex>l<\tex>, где <tex>l = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}</tex>.<br>
+
|statement=Пусть <tex>\{e_i\}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>X</tex>, <tex>\{h_k\}_{k=1}^m</tex> - базис <tex>Y</tex>, <tex>\{l_s\}_{s=1}^p</tex> - базис <tex>Z</tex> и пусть <tex> A_{[m \times n]} = ||\alpha_k^i||</tex> - матрица <tex>\mathcal{A}</tex>, <tex> B_{[p \times m]} = ||\beta_k^i||</tex> - матрица <tex>\mathcal{B}</tex>, <tex>C_{[p \times n]} = ||\gamma_k^i||</tex> - матрица <tex>l</tex>, где <tex>l = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}</tex>.<br>
 
Тогда <tex>C = B \cdot A</tex>.
 
Тогда <tex>C = B \cdot A</tex>.
  

Версия 13:11, 14 июня 2013

Умножение линейных операторов

Определение:
Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to Y [/math] и [math]\mathcal{B} \colon Y \to Z [/math], причём [math]\dim X = n[/math], [math]\dim Y = m[/math] и [math]\dim Z = p[/math].
Тогда отображение [math]\l \colon X \to Z[/math] называется называется произведением линейных операторов [math]\mathcal{B}[/math] и [math]\mathcal{A} \ (l = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A})[/math], если [math]\forall x \in X \colon \ l(x) = \mathcal{B}(\mathcal{A}x)[/math]


Лемма:
Если [math]l = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}[/math], то [math]l[/math] - линейный оператор, т.е. [math]l \in X \times Z [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
УПРАЖНЕНИЕ
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]\{e_i\}_{i=1}^n[/math] - базис [math]X[/math], [math]\{h_k\}_{k=1}^m[/math] - базис [math]Y[/math], [math]\{l_s\}_{s=1}^p[/math] - базис [math]Z[/math] и пусть [math] A_{[m \times n]} = ||\alpha_k^i||[/math] - матрица [math]\mathcal{A}[/math], [math] B_{[p \times m]} = ||\beta_k^i||[/math] - матрица [math]\mathcal{B}[/math], [math]C_{[p \times n]} = ||\gamma_k^i||[/math] - матрица [math]l[/math], где [math]l = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}[/math].
Тогда [math]C = B \cdot A[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
УПРАЖНЕНИЕ
[math]\triangleleft[/math]

Алгебра линейных операторов. Изоморфизм алгебр.