Алгебра операторных полиномов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Минимальный полином линейного оператора)
(Минимальный полином линейного оператора)
Строка 123: Строка 123:
 
<tex>\widehat{X_A}(\lambda) = \prod_{i=1, j!=i}^n (\lambda-\lambda_i)</tex>
 
<tex>\widehat{X_A}(\lambda) = \prod_{i=1, j!=i}^n (\lambda-\lambda_i)</tex>
  
Рассмотрим <tex>x_j \in L_{\lambda_j} => \widehat{X_A}(A)x_j != O </tex>
+
Рассмотрим <tex>x_j \in L_{\lambda_j} => \widehat{X_A}(A)x_j \ne O </tex>
  
 
<tex>X_A(A)=O</tex> - тождество Кэли
 
<tex>X_A(A)=O</tex> - тождество Кэли
Строка 148: Строка 148:
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement= Пусть p_A(\lambda)=p_1(\lambda)\cdot p_2(\lambda) (взаимнопростые)
+
|statement= Пусть <tex>p_A(\lambda)=p_1(\lambda)\cdot p_2(\lambda)</tex> (взаимнопростые)
Тогда Ker p_1(A) = Im p_2(A)
+
Тогда <tex>Ker p_1(A) = Im p_2(A)</tex>
 
|proof=
 
|proof=
p_A(A)X = \{Ox\}
+
<tex>p_A(A)X = \{Ox\}</tex>
p_1(A)(p_2(A)X)=\{Ox\}
+
<tex>p_1(A)(p_2(A)X)=\{Ox\}</tex>
p_2(A)X = Im p_2(A)
+
<tex>p_2(A)X = Im p_2(A)</tex>
=> \forall x \in Im p_2(A):p_1(\mathcal{A})x=Ox => Im p_2(\mathcal{A}) inini Ker p_1(A)
+
=> <tex>\forall x \in Im p_2(A):p_1(\mathcal{A})x=Ox => Im p_2(\mathcal{A}) inini Ker p_1(\mathcal{A})</tex>
dim Im p_2(\mathcal{A}) = dim Ker p_1(\mathcal{A}) (?)
+
<tex>dim Im p_2(\mathcal{A}) = dim Ker p_1(\mathcal{A}) (?)</tex>
X=Ker p_A(\mathcal{A})=Ker p_1(\mathcal{A}) \dotplus Ker p_2(\mathcal{A})
+
<tex>X=Ker p_A(\mathcal{A})=Ker p_1(\mathcal{A}) \dotplus Ker p_2(\mathcal{A})</tex>
1) n = dim X = dim Ker p_1(\mathcal{A}) + dim Ker p_2(\mathcal{A}) (1)
+
 
2) n = dim X = dim Im p_2(\mathcal{A}) + dim Ker p_2(\mathcal{A}) (2)
+
1) <tex>n = dim X = dim Ker p_1(\mathcal{A}) + dim Ker p_2(\mathcal{A})</tex> (1)
 +
 
 +
2) <tex>n = dim X = dim Im p_2(\mathcal{A}) + dim Ker p_2(\mathcal{A})</tex> (2)
 +
 
 
}}
 
}}
  
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>p_a(\lambda) = \displaystyle \prod_{i=1}^k p_i(\lambda)</tex> (взаимнопростые делители)
 +
 +
Пусть <tex>p_i^{'} = {p_a \over p_i}</tex>; <tex>q_i</tex> - также понятно, что <tex>\displaystyle \sum_{i=1}^k p_i^{'}(\lambda)\cdot q_i(\lambda) = \mathcal{1}</tex>
 +
 +
Тогда 1) <tex>X = \dotplus \sum_{i=1}^k p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})</tex>, где <tex>x = \sum_{i=1}^k p_i^{'} (\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})x=\sum_{i=1}^k x_i</tex> так, что x_i =
 +
|proof=
 +
}}
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]

Версия 15:12, 14 июня 2013

[math]P=\{p(\lambda)|\forall \deg p(\lambda)\}[/math]

Пусть [math]A:X-\gt X[/math];Пусть [math]p(\lambda) = \displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s\lambda^s -\gt p(A) = \displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s A^2[/math]

[math]P(A) = \{p(A)|\forall \deg p(A)) \}[/math]

[math]P(A)[/math] - п.п. [math]X \times X = {all B:X-\gt X}[/math]

[math]P(A)[/math] - тоже алгебра

0) [math]p(A) \cdot q(A) \in P(A)[/math]

1) [math](p(A) \cdot q(A))r(A) = p(A)\cdot(q(A)*r(A))[/math]

2) [math]p(A)*(q(A)+r(A))=p(A)*q(A)+p(A)*r(A)[/math]

3) [math](\alpha \cdot p(A))\cdot q(A)=p(A)*(\alpha*q(A))=\alpha(p(A)*q(A))[/math]

4) [math]p(A)*q(A) = q(A)*p(A)[/math]

[math]A^m\cdot A^n=A^n*A^m=A^{m+n}[/math]

[math]m,n \in N[/math]

Теорема [math]P(A[/math]) - подалгебра [math]X \times X[/math] (коммунитативные)

[math]S_A:P-\gt P(A)[/math]

[math]p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s\cdot\lambda^s -\gt p(A)=\displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s \cdot A^s[/math]

[math](A^0 = I)[/math]

Теорема:
Пусть [math]p_1(\lambda)[/math] и [math]p_2(\lambda)[/math] - взаимнопростые Тогда [math]\exists q_1(\lambda) и q_2(\lambda):p_1(A)*q_1(A)+p_2(A)*q2(A)=I[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Было:[math]p_1(\lambda)*q_1(\lambda)+p_2(\lambda)*q_2(\lambda)=1[/math] [math](*)[/math]

[math]S_A(*): p_1(\lambda)*q_1(\lambda)+p_2(\lambda)*q_2(\lambda) = S_A 1 = I[/math], ч.т.д.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]p(\lambda)=p_1(\lambda)*p_2(\lambda)[/math] (Н.О.Д. [math]\{p_1(\lambda), p_2(\lambda)\}=1[/math]) Тогда [math]Ker p(A)=Ker p_1(A) + Ker p_2(A)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1) Пусть [math]x=x_1+x_2[/math], где [math]x_1 \in Ker p_1(A)[/math], [math]x_2 \in Ker p_2(A) =\gt [/math] [math]p(A)x=p(A)x_1+p(A)x_2 = p_1(A) \cdot p_2(A) x + p_1(A)p_2(A) x_2 = [/math](коммутативность)[math] = p_2(A)*p_1(A)x_1+p_1(A)0=0+0=0 =\gt [/math] [math]x \in Ker p(A)[/math]

Итого: [math]Ker p_1(A)+Ker p_2(A) inini Ker p(A)[/math]

2) Надо: [math]Ker p(A) inini Ker p_1(A) + Ker p_2(A)[/math]

[math]\forall x = x_1 + x_2 (?)[/math]

[math]\forall x \in Ker p(A), x_1 \in Ker p_1(A), x_2 \in Ker p_2(A)[/math]

Пусть [math]x = Ix = p_2(A)q_2(A)x+p_1(A)q_1(A)x, x \in Ker p(A)[/math]

Рассмотрим [math]p_1(A)x_1 = (p_1(A) \cdot p_2(A))q_2(A)x= p(A)\cdot q_2(A)x = q_2(A)\cdot p(A) x[/math]

I. Итого: [math]Ker p(A) = Ker p_1(A)+Ker p_2(A)[/math]

II. [math]+ -\gt +..[/math]

Надо: [math]Ker p_1(A) per Ker p_2(A) = \{0_x\}[/math] [math]\lt - U:z:Ker p_1(A) per Ker p_2(A)[/math]

Рассмотрим [math]z=Iz=p_1(A)q_1(A)z+p_2(A)q_2(A)z=q_1(A)p1(A)z+q_2(A)p_2(A)z=0[/math], ч.т.д.
[math]\triangleleft[/math]

Следствие. Пусть p(\lambda)=\PI_{i=1}^k p_i(\lambda), где p_i(\lambda) - взаимнопростые делители p(\lambda). Тогда [math]Ker p(A)+..\displaystyle \sum_{i=1}^k Ker p_i(A)[/math]


Определение:
Пусть [math]p(\lambda):p(A) = O[/math]. Тогда [math]p(\lambda)[/math] называется аннулирующим полиномом линейного оператора A.


N.B: [math]p(A)=O \lt =\gt \forall x \in X:p(A)x = Ox \lt =\gt p(A)x = \{Ox\} \lt =\gt Im p(A) =\{Ox\} \lt =\gt Ker p(A) =X[/math]

Лемма 1. Рассмотрим [math]X \times X[/math] и [math]\{I,A,A^2,...\}[/math]. [math]dim X=n[/math] [math]dim X \times X = n^2[/math]

Аннулирующие полиномы есть в природе.

[math]\{I,A,A^2,...\}[/math] - набор ЛЗ [math]=\gt [/math] [math]\exists \alpha_s: \displaystyle \sum_{s=0}^{n^2} \alpha_s \cdot A^2 = O[/math]

Рассмотрим [math]p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^{n2} \alpha_s \cdot \lambda^s[/math] - аннулирующий полином.


Теорема.

Множество всех аннулирующих полиномов данного автоморфизма образует идеал А в алгебре скалярных полиномов P.

I_A

Рассмотрим p(\lambda) \in I_A, p(\lambda) \in P => p(\lambda)q(\lambda) \in (I_A) (?)

[math]S_A(p(\lambda)q(\lambda)) = p(A)q(A) = O \cdot q(A) = O[/math], ч.т.д.

Минимальный полином линейного оператора

Определение:
Минимальный полином построенного идеала J_A называется минимальным полиномом A(минимальным аннулирующим полиномом A)


Пример.

Пусть [math]A[/math]-л.о. с простым спектром.

[math]X_a(\lambda) = \prod_{i=1}^n (\lambda-\lambda_i)[/math]

[math]A=\displaystyle \lambda_i P_{\lambda_i}[/math]

[math]A = \displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i\cdot P_{\lambda_i}[/math]

[math]X_A(A) = \displaystyle \sum_{i=1}^n X_A(\lambda_i)\cdot P_{\lambda_i} = O[/math], т.е. [math]X_A \in J_A[/math]

[math]X_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_j)\cdot \widehat{X_A}(\lambda)[/math]

[math]\widehat{X_A}(\lambda) = \prod_{i=1, j!=i}^n (\lambda-\lambda_i)[/math]

Рассмотрим [math]x_j \in L_{\lambda_j} =\gt \widehat{X_A}(A)x_j \ne O [/math]

[math]X_A(A)=O[/math] - тождество Кэли

[math]X_A(A)[/math] - аннулирующий, но не минимальный полином.

Теорема:
Для [math]p(A)=q(A)[/math], Н и Д, чтобы [math](p(\lambda)-q(\lambda))::p_A(\lambda)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]p(A)=q(A) \lt =\gt p(A)-q(A) = O \lt =\gt (p(A)-q(A))x=Ox [/math](для [math]\forall x \in X[/math])

[math]p(\lambda)-q(\lambda) = p_A(\lambda)\cdot \widehat{p}(A)=O[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Следствие Пусть [math]r(\lambda)[/math] - остаток от деления [math]p(\lambda)[/math] на [math]p_A(\lambda)[/math] Тогда [math]p(A)=r(A)[/math] [math]p(\lambda)=p_A(\lambda)\cdot q(\lambda)+r(\lambda)[/math]

Теорема:
Пусть [math]p_A(\lambda)=\prod_{i=1}^k p_a(\lambda)[/math] ([math]p_i(\lambda)[/math] - взаимнопростые делители)

Тогда [math]X = \dotplus\sum_{i=1}^n Ker p_i(A)[/math]

[math]Ker p_A(A) = X[/math]
Теорема:
Пусть [math]p_A(\lambda)=p_1(\lambda)\cdot p_2(\lambda)[/math] (взаимнопростые) Тогда [math]Ker p_1(A) = Im p_2(A)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]p_A(A)X = \{Ox\}[/math] [math]p_1(A)(p_2(A)X)=\{Ox\}[/math] [math]p_2(A)X = Im p_2(A)[/math] => [math]\forall x \in Im p_2(A):p_1(\mathcal{A})x=Ox =\gt Im p_2(\mathcal{A}) inini Ker p_1(\mathcal{A})[/math] [math]dim Im p_2(\mathcal{A}) = dim Ker p_1(\mathcal{A}) (?)[/math] [math]X=Ker p_A(\mathcal{A})=Ker p_1(\mathcal{A}) \dotplus Ker p_2(\mathcal{A})[/math]

1) [math]n = dim X = dim Ker p_1(\mathcal{A}) + dim Ker p_2(\mathcal{A})[/math] (1)

2) [math]n = dim X = dim Im p_2(\mathcal{A}) + dim Ker p_2(\mathcal{A})[/math] (2)
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]p_a(\lambda) = \displaystyle \prod_{i=1}^k p_i(\lambda)[/math] (взаимнопростые делители)

Пусть [math]p_i^{'} = {p_a \over p_i}[/math]; [math]q_i[/math] - также понятно, что [math]\displaystyle \sum_{i=1}^k p_i^{'}(\lambda)\cdot q_i(\lambda) = \mathcal{1}[/math]

Тогда 1) [math]X = \dotplus \sum_{i=1}^k p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})[/math], где [math]x = \sum_{i=1}^k p_i^{'} (\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})x=\sum_{i=1}^k x_i[/math] так, что x_i =