Алгебра скалярных полиномов

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Скалярным полиномом называется [math]p(\lambda) = \sum_{i=1}^m \alpha_i \lambda^i[/math], где [math]\alpha_i\in\mathbb{C}[/math], а [math]\forall m[/math].


Утверждение:
Пространство всех полиномов является коммутативной алгеброй
[math]\triangleright[/math]

Доказательство осуществляется проверкой всех свойств.

1) [math](p\cdot q)\cdot r = p\cdot(q\cdot r)[/math]

2) [math]p\cdot q = q\cdot p[/math]

3) [math](p + q)\cdot r = p\cdot r+ q\cdot r[/math]

4) [math](\beta p)\cdot q = p\cdot(\beta q)[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Идеалом [math]\mathbb{J}[/math] алгебры полиномов [math]\mathbb{P}[/math] называется ее подпространство , такое что [math] \forall q \in \mathbb{J}, p \in \mathbb{P} \Rightarrow q \cdot p \in \mathbb{J} [/math].


Лемма:
Пусть [math]\mathbb{I}[/math] - единичный полином, т.е. [math]\mathbb{I} (\lambda) = 1[/math]. Тогда [math]\forall[/math] идеал, содержащий [math]\mathbb{I}[/math] - тривиальный полином и равен [math]\mathbb{P}[/math].
Лемма:
Пусть [math] \mathbb{J}_1,\ \mathbb{J}_2[/math] - идеалы [math]\mathbb{P}[/math], тогда [math]\mathbb{J} = \mathbb{J}_1 \cap \mathbb{J}_2[/math] и [math]\tilde{\mathbb{J}} = \mathbb{J}_1 \dotplus \mathbb{J}_2[/math] тоже идеалы.


Определение:
Пусть [math]\mathbb{J}[/math] - идеал [math]\mathbb{P}[/math]. Тогда [math]\mathrm{p}_J[/math] называется минимальным полиномом этого [math]\mathbb{J}[/math], если он [math]\in \mathbb{J}[/math] и имеет минимальную степень.


Лемма:
Если [math]\mathbb{J}[/math] - идеал и не тривиальный , то [math]deg\ \mathrm{p}_J \gt 0 [/math].
Теорема:
Пусть [math]\mathrm{p}_J - min[/math] полином [math]\mathbb{J} \Rightarrow \forall \mathrm{p}\in \mathbb{J}: \mathrm{p}\ \vdots \ \mathrm{p}_J[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Будем доказывать от противного.

Пусть [math]\exists\mathrm{p}\in\mathbb{J} : \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{p}_J} = \mathrm{q} + \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}_J}[/math], где [math] deg\ \mathrm{r} \lt deg\ \mathrm{p}_J[/math].

Тогда [math]\mathrm{r} = \mathrm{p}-\mathrm{p}_J\cdot\mathrm{q}[/math] , где [math]\mathrm{p},\mathrm{p}_J\cdot\mathrm{q} \in \mathbb{J} \Rightarrow \mathrm{r}\in \mathbb{J}[/math] — Противоречие.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
Пусть [math]\mathrm{p}_J^1,\ \mathrm{p}_J^1 - 2 min[/math] полинома [math]\mathbb{J}[/math] , тогда [math]\mathrm{p}_J^1 = \alpha\mathrm{p}_J^1,\ \alpha \ne 0[/math]
Теорема:
Минимальный полином [math]\mathbb{J}[/math] является порождающим полиномом, т.е. если [math]\mathrm{p}_J - min[/math] полином [math]\mathbb{J} \Rightarrow \mathbb{J} = \mathrm{p}_J \cdot \mathbb{P}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math] \mathrm{p}_J\cdot\mathbb{P} = \mathbb{J}\Leftarrow \begin{cases} \forall\mathrm{p}\in\mathbb{J}\Rightarrow \mathrm{p} = \mathrm{p}_J\cdot \mathrm{q}\Rightarrow \mathbb{J}\subseteq \mathrm{p}_J\cdot \mathbb{P}\\ \mathrm{p}_J\cdot\mathrm{p}\in\mathbb{J}\Rightarrow\mathrm{p}_J\cdot\mathbb{P}\subseteq\mathbb{J} \end{cases} [/math]
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
Пусть [math]\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{J1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J2} [/math], где [math]\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2}[/math] — соответствующие минимальные полиномы. Тогда, если [math]\mathbb{J}_1\subset \mathbb{J}_2\Rightarrow\mathrm{p}_{J1}\ \vdots\ \mathrm{p}_{J2}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]\mathbb{J}_1\subset \mathbb{J}_2\Rightarrow \mathrm{p}_{J1}\in\mathbb{J}_2\Rightarrow\mathrm{p}_{J1}\ \vdots\ \mathrm{p}_{J2}[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{J1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J2} [/math], где [math]\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2}[/math] — соответствующие минимальные полиномы.

Так же пусть [math]\mathbb{J} = \mathbb{J}_1 \cap \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J}[/math].

Тогда [math]\mathrm{p}_J = [/math] НОК[math](\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2})[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\mathrm{p}_J = [/math] OK[math](\mathbb{J}_1,\ \mathbb{J}_2)[/math][math]\Leftarrow \begin{cases} \mathrm{p}_J \in \mathbb{J}_1 \Rightarrow \mathrm{p}_J\ \vdots\ \mathrm{p}_{J1}\\ \mathrm{p}_J \in \mathbb{J}_2 \Rightarrow \mathrm{p}_J\ \vdots\ \mathrm{p}_{J2} \end{cases} [/math]

[math]\mathrm{p}_J[/math] — НОК по определению [math]min[/math] полинома.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{J1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J2} [/math], где [math]\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2}[/math] — соответствующие минимальные полиномы.

Так же пусть [math]\mathbb{J} = \mathbb{J}_1 \dotplus \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J}[/math].

Тогда [math]\mathrm{p}_J = [/math] НОД[math](\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2})[/math]
Теорема:
Пусть [math]\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{2} [/math], где [math]\mathrm{p}_{1},\ \mathrm{p}_{2}[/math] — соответствующие минимальные полиномы.

Так же пусть [math]\mathrm{p}_{1},\ \mathrm{p}_{2}[/math] — взаимнопростые.

Тогда [math]\exists \mathrm{q}_1,\ \mathrm{q}_2\in \mathbb{C} : \mathrm{p}_1\cdot\mathrm{q}_1 + \mathrm{p}_2\cdot\mathrm{q}_2 = \mathbb{I}[/math], где [math]\mathbb{I}[/math] — единичный полином.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\mathbb{J}_1 =\mathrm{p}_1\cdot\mathbb{P}\ ,\ \mathbb{J}_2 =\mathrm{p}_2\cdot\mathbb{P} [/math] Рассмотрим [math]\mathbb{J} = \mathbb{J}_1\cdot\mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_J = [/math] НОД[math](\mathrm{p}_1,\ \mathrm{p}_2) = \mathbb{I}\Rightarrow\mathbb{J}=\mathbb{P}[/math]

А тогда очевидно, что [math]\mathrm{p}_1\cdot\mathrm{q}_1 + \mathrm{p}_2\cdot\mathrm{q}_2 = \mathbb{I}[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
Пусть НОД[math]\{ \mathrm{p}_1,...,\mathrm{p}_k\} = 1\Rightarrow\exists\mathrm{q}_1...\mathrm{q}_k\in\mathbb{C}: \sum_{i=1}^k \mathrm{p}_i \cdot \mathrm{q}_i = \mathbb{I}[/math]
Теорема:
Пусть [math]\mathrm{p} = \mathrm{p}_1\cdot ... \cdot \mathrm{p}_k[/math] , где любые [math]\mathrm{p}_i,\ \mathrm{p}_j[/math] — попарно взаимно простые делители [math]\mathrm{p}[/math]

Рассмотрим [math]\mathrm{p}_i^1 = \frac{\mathrm{p}_i}{\mathrm{p}}[/math].

Тогда [math]\exists\mathrm{q}_1...\mathrm{p}_k\in\mathbb{C}: \sum_{i=1}^k \mathrm{p}_i^1\cdot\mathrm{q}_j = \mathbb{I}[/math]