Алгоритмы на деревьях — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 2: Строка 2:
 
Алгоритм в этой статье находил диаметр в дереве,при чём очень простым алгоритмом.
 
Алгоритм в этой статье находил диаметр в дереве,при чём очень простым алгоритмом.
  
Алгоритм:
+
'''Алгоритм:'''
 
Возьмём любую вершину V и найдём расстояния до всех других вершин.
 
Возьмём любую вершину V и найдём расстояния до всех других вершин.
  
 
d = max{<tex> v </tex>,<tex> u </tex> <tex> \subset graph, </tex> <tex> v \ne u </tex>} dist(<tex> v, u </tex>)
 
d = max{<tex> v </tex>,<tex> u </tex> <tex> \subset graph, </tex> <tex> v \ne u </tex>} dist(<tex> v, u </tex>)
  
Возьмём вершину <tex> u </tex> такую,что d[u] >= d[t] для $\forall$ t.Снова найдём расстояние до всех остальных вершин.Самое большое расстояние-диаметр дерева.
+
Возьмём вершину <tex> u </tex> такую,что d[u] >= d[t] для любого t.Снова найдём расстояние до всех остальных вершин.Самое большое расстояние - диаметр дерева.
 
Расстояние до остальных вершин удобно искать алгоритмом BFS.
 
Расстояние до остальных вершин удобно искать алгоритмом BFS.
  
Реализация:
+
'''Реализация:'''
  
  
Строка 29: Строка 29:
  
  
Обоснование корректности:
+
'''Обоснование корректности:'''
 
Будем пользоваться свойством,что в любом дереве >= 2 висячих вершин(степерь у них = 1)
 
Будем пользоваться свойством,что в любом дереве >= 2 висячих вершин(степерь у них = 1)
 
Докажем вспомогательную лемму:
 
Докажем вспомогательную лемму:
Строка 46: Строка 46:
 
Таким образом мы доказали, что нам нужно взять наиглубочайшую вершину t после первого bfs, очевидно что ей в пару надо сапоставить вершину p , что dist(t, p) - max . Очевидно, что проблема решается запуском bfs из t.  
 
Таким образом мы доказали, что нам нужно взять наиглубочайшую вершину t после первого bfs, очевидно что ей в пару надо сапоставить вершину p , что dist(t, p) - max . Очевидно, что проблема решается запуском bfs из t.  
  
Оценка производительности:
+
'''Оценка производительности:'''
 
Все операции кроме bfs - О(1)
 
Все операции кроме bfs - О(1)
 
BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E)
 
BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E)

Версия 19:17, 11 декабря 2013

Диаметр дерева - максимальная длина кратчайшего пути между любыми двумя вершинами. Алгоритм в этой статье находил диаметр в дереве,при чём очень простым алгоритмом.

Алгоритм: Возьмём любую вершину V и найдём расстояния до всех других вершин.

d = max{[math] v [/math],[math] u [/math] [math] \subset graph, [/math] [math] v \ne u [/math]} dist([math] v, u [/math])

Возьмём вершину [math] u [/math] такую,что d[u] >= d[t] для любого t.Снова найдём расстояние до всех остальных вершин.Самое большое расстояние - диаметр дерева. Расстояние до остальных вершин удобно искать алгоритмом BFS.

Реализация:


void diameter(graph g)              
{
    v = u = w = 0;
    bfs(v); // заполняет массив d[n] расстояниями до всех вершин.
    for(i = 0; i < n; i++)
         if (d[i] > d[u])
              u = i;
    bfs(u);
    for(i = 0; i < n; i++)
          if (d[i] > d[w])
               w = i;
    return d[w];
}


Обоснование корректности: Будем пользоваться свойством,что в любом дереве >= 2 висячих вершин(степерь у них = 1) Докажем вспомогательную лемму: Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами. Доказательство: пусть нет, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершина a, b, где b - не является листом.Т.к. b не является листом, то значит её степень > 1 => из неё существует ребро в непосещенную вершину (дважды посетить вершину b мы не можем). Лемма доказана.

Запустив BFS от произвольной вершины. Мы получим дерево BFS. Теорема. В дереве BFS не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого из общего предка. Доказательство как про дерево DFS.

Мы свели задачу к нахождению вершины v, такой, что сумма глубин поддеревьев максимальна.

Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист. Пусть нет, тогда взяв расстояние от v до глубочайшего листа мы можем улучшить ответ.

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять наиглубочайшую вершину t после первого bfs, очевидно что ей в пару надо сапоставить вершину p , что dist(t, p) - max . Очевидно, что проблема решается запуском bfs из t.

Оценка производительности: Все операции кроме bfs - О(1) BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E)