Алгоритмы на деревьях — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 49: Строка 49:
 
Запустив BFS от произвольной вершины. Мы получим дерево BFS.  
 
Запустив BFS от произвольной вершины. Мы получим дерево BFS.  
  
{{Теорема
+
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
 
В дереве BFS не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.
 
В дереве BFS не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.
 
|proof=
 
|proof=
 
+
Предположим существует, пусть ребро соединяет вершины <tex>u,v</tex> из разных поддеревьев. Рассмотрим первую вершину в которую приведет наш алгоритм. предположим <tex>u</tex>, тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин мы занесем в список вершину <tex>v</tex> тем самым исключим возможность попадания их в разные поддеревья.
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4_%D0%B2_%D0%B3%D0%BB%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%83,_%D1%86%D0%B2%D0%B5%D1%82%D0%B0_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD#.D0.94.D0.B5.D1.80.D0.B5.D0.B2.D0.BE_.D0.BE.D0.B1.D1.85.D0.BE.D0.B4.D0.B0_.D0.B2_.D0.B3.D0.BB.D1.83.D0.B1.D0.B8.D0.BD.D1.83 Такое же как у дерева dfs.]
 
 
}}
 
}}
  

Версия 00:14, 24 декабря 2013

Диаметр дерева - максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути между любыми двумя вершинами. Алгоритм в этой статье находит диаметр в дереве.

Пусть дан граф [math]G = \lt V, E\gt [/math] Тогда диаметром [math]d[/math] называется [math]\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)[/math], где [math]dist[/math] — кратчайшнее расстояние между вершинами

Алгоритм

Возьмём любую вершину [math] v [/math] и найдём расстояния до всех других вершин.

[math]d = min\{ v , u \subset graph, v \ne u \}[/math] [math]dist(v, u) [/math]

Возьмём вершину [math] u [/math] такую,что [math]d[u] \gt = d[t][/math] для любого [math]t[/math].Снова найдём расстояние от [math]u[/math] до всех остальных вершин.Самое большое расстояние - диаметр дерева. Расстояние до остальных вершин будем искать алгоритмом [math]BFS[/math].

Реализация

int diameterTree(graph g)              
{
    v = u = w = 0;
    d = bfs(g,v); 
    for(i = 0; i < n; i++)
         if (d[i] > d[u])
              u = i;
    bfs(g,u);
    for(i = 0; i < n; i++)
          if (d[i] > d[w])
               w = i;
    return d[w];
}



Обоснование корректности

Будем пользоваться свойством,что в любом дереве больше одного листа.Исключительный случай-дерево из одной вершины,но алгоритм сработает верное и в этом случае.


Теорема:
Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть нет, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершинами [math]a,b[/math] где [math]b[/math] - не является листом. Т.к. b не является листом, то значит её степень [math]\gt [/math] 1 => из неё существует ребро в непосещенную вершину (дважды посетить вершину [math]b[/math] мы не можем). Лемма доказана.
[math]\triangleleft[/math]


Запустив BFS от произвольной вершины. Мы получим дерево BFS.

Лемма:
В дереве BFS не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Предположим существует, пусть ребро соединяет вершины [math]u,v[/math] из разных поддеревьев. Рассмотрим первую вершину в которую приведет наш алгоритм. предположим [math]u[/math], тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин мы занесем в список вершину [math]v[/math] тем самым исключим возможность попадания их в разные поддеревья.
[math]\triangleleft[/math]

Мы свели задачу к нахождению вершины [math]w[/math], такой, что сумма глубин поддеревьев максимальна.

Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист. Пусть нет, тогда взяв расстояние от [math]w[/math] до глубочайшего листа мы можем улучшить ответ.

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину [math]u[/math] с наибольшей глубиной после первого bfs, очевидно что ей в пару надо сопоставить вершину [math]w[/math] , что dist(u, w) - [math]max[/math] . Очевидно, что проблема решается запуском bfs из [math]u[/math].


Оценка производительности

Все операции кроме bfs - О(1). BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E).