Алгоритмы на деревьях — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 61: Строка 61:
  
 
== Центр дерева ==
 
== Центр дерева ==
 +
=== Определения ===
 +
{{Определение
 +
|id = tree
 +
|definition =
 +
'''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' — <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>V</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex>.
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|id = tree
 +
|definition =
 +
'''Радиус <tex>r(G)</tex>''' — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>.
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|id = tree
 +
|definition =
 +
'''Центральная вершина''' — вершина графа <tex>G</tex>, такая что <tex>e(v) = r(G)</tex>
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|id = tree
 +
|definition =
 +
'''Центр графа <tex>G</tex>''' — множество всех центральных вершин графа <tex>G</tex>.
 +
}}
 +
 +
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Каждое дерево имеет центр, состоящий из одной вершины или из двух смежных вершин.
 +
|proof=
 +
Утверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, что у любого другого дерева <tex>T</tex> те же центральные вершины, что и у дерева <tex>T'</tex>, полученного из <tex>T</tex> удалением всех его висячих вершин. Расстояние от данной вершины дерева <tex>u</tex> до любой другой вершины <tex>v</tex> достигает наибольшего значения, когда <tex>v</tex> – висячая вершина. Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева <tex>T'</tex> точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве <tex>T</tex>, следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.
 +
}}
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Версия 23:56, 10 января 2015

Диаметр дерева

Диаметр дерева — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути между любыми двумя вершинами.

Пусть дан граф [math]G = \langle V, E \rangle [/math]. Тогда диаметром [math]d[/math] называется [math]\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)[/math], где [math]dist[/math] — кратчайшее расстояние между вершинами.

Алгоритм

Возьмём любую вершину [math] v \in V [/math] и найдём расстояния до всех других вершин. [math]d[i] = \min\limits_{u, i \in V} dist(u, i)[/math]

Возьмём вершину [math] u \in V [/math] такую, что [math]d[u] \ge d[t][/math] для любого [math]t[/math]. Снова найдём расстояние от [math]u[/math] до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева. Расстояние до остальных вершин будем искать алгоритмом [math]BFS[/math].

Реализация

int diameterTree(graph g)              
    v = u = w = 0;
    d = bfs(g, v); 
    for i = 0; i < n; i++
         if d[i] > d[u]
              u = i;
    bfs(g, u);
    for i = 0; i < n; i++
          if d[i] > d[w]
               w = i;
    return d[w];

Обоснование корректности

Будем пользоваться свойством, что в любом дереве больше одного листа. Исключительный случай — дерево из одной вершины, но алгоритм сработает верно и в этом случае.

Теорема:
Искомое расстояние — расстояние между двумя листами.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть искомое расстояние — расстояние между вершинами [math]a, b[/math], где [math]b[/math] не является листом. Так как [math]b[/math] не является листом, то её степень больше единицы, следовательно, из неё существует ребро в непосещённую вершину (дважды посетить вершину [math]b[/math] мы не можем).
[math]\triangleleft[/math]

После запуска алгоритма получим дерево [math]BFS[/math].

Теорема:
В дереве [math]BFS[/math] не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Предположим, существует ребро [math]u, v[/math] между соседними поддеревьями:

Рассмотрим первую вершину, в которую приведет наш алгоритм, пусть это вершина [math]u[/math], тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин [math]u[/math] мы добавим в список вершину [math]v[/math], тем самым исключив возможность попадания их в разные поддеревья.
[math]\triangleleft[/math]


Мы свели задачу к нахождению вершины [math]w[/math], такой что сумма глубин поддеревьев максимальна.

Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист. Пусть нет, тогда, взяв расстояние от [math]w[/math] до глубочайшего листа, мы можем улучшить ответ.

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину [math]u[/math] с наибольшей глубиной после первого [math]BFS[/math], очевидно, что ей в пару надо сопоставить вершину [math]w[/math], такую что [math]dist(u, w)[/math] максимально. Вершину [math]w[/math] можно найти запуском [math]BFS[/math] из [math]u[/math].

Оценка производительности

Все операции кроме [math]BFS[/math][math]O(1)[/math]. [math]BFS[/math] работает за линейное время, запускаем мы его 2 раза. Получаем [math]O(V + E)[/math].

Центр дерева

Определения

Определение:
Эксцентриситет вершины [math]e(v)[/math][math]\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)[/math], где [math]V[/math] — множество вершин связного графа [math]G[/math].


Определение:
Радиус [math]r(G)[/math] — наименьший из эксцентриситетов вершин графа [math]G[/math].


Определение:
Центральная вершина — вершина графа [math]G[/math], такая что [math]e(v) = r(G)[/math]


Определение:
Центр графа [math]G[/math] — множество всех центральных вершин графа [math]G[/math].


Теорема:
Каждое дерево имеет центр, состоящий из одной вершины или из двух смежных вершин.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Утверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, что у любого другого дерева [math]T[/math] те же центральные вершины, что и у дерева [math]T'[/math], полученного из [math]T[/math] удалением всех его висячих вершин. Расстояние от данной вершины дерева [math]u[/math] до любой другой вершины [math]v[/math] достигает наибольшего значения, когда [math]v[/math] – висячая вершина. Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева [math]T'[/math] точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве [math]T[/math], следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации