Алгоритмы на деревьях — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Оценка производительности)
Строка 2: Строка 2:
  
 
== Диаметр дерева ==
 
== Диаметр дерева ==
 
+
{{Определение
'''Диаметр дерева''' — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути между любыми двумя вершинами.
+
|id = tree
 +
|definition =
 +
'''Диаметр дерева''' (''diameter of a tree'') — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами.
 +
}}
  
 
Пусть дан граф <tex>G = \langle V, E \rangle </tex>. Тогда диаметром <tex>d</tex> называется <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>dist</tex> — кратчайшее расстояние между вершинами.
 
Пусть дан граф <tex>G = \langle V, E \rangle </tex>. Тогда диаметром <tex>d</tex> называется <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>dist</tex> — кратчайшее расстояние между вершинами.
Строка 10: Строка 13:
 
* Возьмём любую вершину <tex> v \in V </tex> и найдём расстояния до всех других вершин. <tex>d[i] = \min\limits_{u, i \in V} dist(u, i)</tex>
 
* Возьмём любую вершину <tex> v \in V </tex> и найдём расстояния до всех других вершин. <tex>d[i] = \min\limits_{u, i \in V} dist(u, i)</tex>
  
* Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую, что <tex>d[u] \ge d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>. Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева.
+
* Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую, что <tex>d[u] \geqslant d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>. Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева.
 
Расстояние до остальных вершин будем искать [[Обход_в_ширину|алгоритмом <tex>BFS</tex>]].
 
Расстояние до остальных вершин будем искать [[Обход_в_ширину|алгоритмом <tex>BFS</tex>]].
  
 
=== Реализация ===
 
=== Реализация ===
  
  '''int''' diameterTree(graph g)            
+
  '''int''' diameterTree(graph<node> g) //''тип node содержит поле number, в котором хранится номер вершины в графе''       
     v = u = w = 0;
+
     v = u = w = 0
     d = bfs(g, v);
+
     d = bfs(g, v)
     '''for''' i = 0; i < n; i++
+
     '''for''' i = 0, i < n, i++
 
           '''if''' d[i] > d[u]
 
           '''if''' d[i] > d[u]
               u = i;
+
               u = i
     bfs(g, u);
+
     bfs(g, u)
     '''for''' i = 0; i < n; i++
+
     '''for''' i = 0, i < n, i++
 
           '''if''' d[i] > d[w]
 
           '''if''' d[i] > d[w]
                 w = i;
+
                 w = i
     '''return''' d[w];
+
     '''return''' d[w]
  
 
=== Обоснование корректности ===
 
=== Обоснование корректности ===
Строка 55: Строка 58:
 
Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину <tex>u</tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>BFS</tex>, очевидно, что ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w</tex>, такую что <tex>dist(u, w)</tex> максимально. Вершину <tex>w</tex> можно найти запуском <tex>BFS</tex> из <tex>u</tex>.  
 
Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину <tex>u</tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>BFS</tex>, очевидно, что ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w</tex>, такую что <tex>dist(u, w)</tex> максимально. Вершину <tex>w</tex> можно найти запуском <tex>BFS</tex> из <tex>u</tex>.  
  
=== Оценка производительности ===
+
=== Оценка времени работы ===
 
Все операции кроме <tex>BFS</tex> — <tex>O(1)</tex>.
 
Все операции кроме <tex>BFS</tex> — <tex>O(1)</tex>.
<tex>BFS</tex> работает за линейное время, запускаем мы его два раза. Получаем <tex>O(V + E)</tex>.
+
<tex>BFS</tex> работает за линейное время, запускаем мы его два раза. Получаем <tex>O(|V| + |E|)</tex>.
  
 
== Центр дерева ==
 
== Центр дерева ==
Строка 64: Строка 67:
 
|id = tree
 
|id = tree
 
|definition =
 
|definition =
'''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' — <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>V</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex>.
+
'''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' (''eccentricity of a vertex'') — <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>V</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex>.
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id = tree
 
|id = tree
 
|definition =
 
|definition =
'''Радиус <tex>r(G)</tex>''' — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>.
+
'''Радиус <tex>r(G)</tex>''' (''radius'') — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>.
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id = tree
 
|id = tree
 
|definition =
 
|definition =
'''Центральная вершина''' — вершина графа <tex>G</tex>, такая что <tex>e(v) = r(G)</tex>  
+
'''Центральная вершина''' (''central vertex'') — вершина графа <tex>G</tex>, такая что <tex>e(v) = r(G)</tex>  
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id = tree
 
|id = tree
 
|definition =
 
|definition =
'''Центр графа <tex>G</tex>''' — множество всех центральных вершин графа <tex>G</tex>.
+
'''Центр графа <tex>G</tex>''' (''center of a graph'') — множество всех центральных вершин графа <tex>G</tex>.
 
}}
 
}}
 
[[Файл:Центральные_вершины.png|300px|thumb|left|Примеры деревьев с одной и двумя центральными вершинами]]
 
[[Файл:Центральные_вершины.png|300px|thumb|left|Примеры деревьев с одной и двумя центральными вершинами]]
Строка 104: Строка 107:
 
* [[wikipedia:Distance_(graph_theory)|Wikipedia {{---}} Distance (graph theory)]]
 
* [[wikipedia:Distance_(graph_theory)|Wikipedia {{---}} Distance (graph theory)]]
 
* ''Ф. Харари'': Теория графов
 
* ''Ф. Харари'': Теория графов
* http://rain.ifmo.ru/cat/data/theory/graph-location/centers-2006/article.pdf
+
* [http://rain.ifmo.ru/cat/data/theory/graph-location/centers-2006/article.pdf ''А. Клебанов'': Центры графов]
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Основные определения теории графов]]
 
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Версия 07:34, 12 января 2015

Диаметр дерева

Определение:
Диаметр дерева (diameter of a tree) — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами.


Пусть дан граф [math]G = \langle V, E \rangle [/math]. Тогда диаметром [math]d[/math] называется [math]\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)[/math], где [math]dist[/math] — кратчайшее расстояние между вершинами.

Алгоритм

  • Возьмём любую вершину [math] v \in V [/math] и найдём расстояния до всех других вершин. [math]d[i] = \min\limits_{u, i \in V} dist(u, i)[/math]
  • Возьмём вершину [math] u \in V [/math] такую, что [math]d[u] \geqslant d[t][/math] для любого [math]t[/math]. Снова найдём расстояние от [math]u[/math] до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева.

Расстояние до остальных вершин будем искать алгоритмом [math]BFS[/math].

Реализация

int diameterTree(graph<node> g) //тип node содержит поле number, в котором хранится номер вершины в графе        
    v = u = w = 0
    d = bfs(g, v)
    for i = 0, i < n, i++
         if d[i] > d[u]
              u = i
    bfs(g, u)
    for i = 0, i < n, i++
          if d[i] > d[w]
               w = i
    return d[w]

Обоснование корректности

Будем пользоваться свойством, что в любом дереве больше одного листа. Исключительный случай — дерево из одной вершины, но алгоритм сработает верно и в этом случае.

Теорема:
Искомое расстояние — расстояние между двумя листами.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть искомое расстояние — расстояние между вершинами [math]a, b[/math], где [math]b[/math] не является листом. Так как [math]b[/math] не является листом, то её степень больше единицы, следовательно, из неё существует ребро в непосещённую вершину (дважды посетить вершину [math]b[/math] мы не можем).
[math]\triangleleft[/math]

После запуска алгоритма получим дерево [math]BFS[/math].

Теорема:
В дереве [math]BFS[/math] не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Предположим, существует ребро [math]u, v[/math] между соседними поддеревьями:

Рассмотрим первую вершину, в которую приведет наш алгоритм, пусть это вершина [math]u[/math], тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин [math]u[/math] мы добавим в список вершину [math]v[/math], тем самым исключив возможность попадания их в разные поддеревья.
[math]\triangleleft[/math]


Мы свели задачу к нахождению вершины [math]w[/math], такой что сумма глубин поддеревьев максимальна.

Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист. Пусть нет, тогда, взяв расстояние от [math]w[/math] до глубочайшего листа, мы можем улучшить ответ.

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину [math]u[/math] с наибольшей глубиной после первого [math]BFS[/math], очевидно, что ей в пару надо сопоставить вершину [math]w[/math], такую что [math]dist(u, w)[/math] максимально. Вершину [math]w[/math] можно найти запуском [math]BFS[/math] из [math]u[/math].

Оценка времени работы

Все операции кроме [math]BFS[/math][math]O(1)[/math]. [math]BFS[/math] работает за линейное время, запускаем мы его два раза. Получаем [math]O(|V| + |E|)[/math].

Центр дерева

Определения

Определение:
Эксцентриситет вершины [math]e(v)[/math] (eccentricity of a vertex) — [math]\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)[/math], где [math]V[/math] — множество вершин связного графа [math]G[/math].


Определение:
Радиус [math]r(G)[/math] (radius) — наименьший из эксцентриситетов вершин графа [math]G[/math].


Определение:
Центральная вершина (central vertex) — вершина графа [math]G[/math], такая что [math]e(v) = r(G)[/math]


Определение:
Центр графа [math]G[/math] (center of a graph) — множество всех центральных вершин графа [math]G[/math].
Примеры деревьев с одной и двумя центральными вершинами
Графы, у которых показан эксцентриситет каждой вершины
Теорема:
Каждое дерево имеет центр, состоящий из одной вершины или из двух смежных вершин.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Утверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, что у любого другого дерева [math]T[/math] те же центральные вершины, что и у дерева [math]T'[/math], полученного из [math]T[/math] удалением всех его висячих вершин. Расстояние от данной вершины дерева [math]u[/math] до любой другой вершины [math]v[/math] достигает наибольшего значения, когда [math]v[/math] – висячая вершина. Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева [math]T'[/math] точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве [math]T[/math], следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.
[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм

  • Построим матрицу [math]A_{n \times n}[/math] ([math]n[/math] — мощность множества [math]V[/math]), где [math]a_{ij} = d_{ij}[/math], то есть матрицу кратчайших путей. Для её построения можно воспользоваться алгоритмом Флойда-Уоршелла или Дейкстры.
  • Подсчитаем максимум в каждой строчке матрицы [math]A[/math]. Таким образом, получим массив длины [math]n[/math].
  • Найдём наименьший элемент в этом массиве. Эта вершина и есть центр графа. В том случае, когда вершин несколько, все они являются центрами.

Асимптотика зависит от используемого способа подсчета кратчайших путей. При Флойде это будет [math]O(V^3)[/math], а при Дейкстре — максимум из асимптотики конкретной реализации Дейкстры и [math]O(V^2)[/math], за которую мы находим максимумы в матрице.

См. также

Источники информации