Алгоритмы на деревьях — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Реализация)
(не показаны 43 промежуточные версии 6 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
__TOC__
 
__TOC__
'''Диаметр дерева''' - максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути между любыми двумя вершинами.
 
Алгоритм в этой статье находит диаметр в дереве.
 
  
Пусть дан граф <tex>G = <V, E></tex> Тогда диаметром <tex>d</tex> называется <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>dist</tex> кратчайшнее расстояние между вершинами  
+
== Диаметр дерева ==
 +
{{Определение
 +
|id = tree
 +
|definition =
 +
'''Диаметр дерева''' (англ. ''diameter of a tree'') — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами.
 +
}}
  
== Алгоритм ==
+
Пусть дан граф <tex>G = \langle V, E \rangle </tex>. Тогда диаметром <tex>d</tex> называется <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>dist</tex> — кратчайшее расстояние между вершинами.
Возьмём любую вершину <tex> v </tex> и найдём расстояния до всех других вершин.
 
  
<tex>d = min\{ v , u  \subset graph, v \ne u \}</tex> <tex>dist(v, u) </tex>
+
=== Алгоритм ===
 +
* Возьмём любую вершину <tex> v \in V </tex> и найдём расстояния до всех других вершин. <tex>d[i] = dist(v, i)</tex>
  
Возьмём вершину <tex> u </tex> такую,что <tex>d[u] \ge d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>.Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин.Самое большое расстояние {{---}} диаметр дерева.
+
* Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую, что <tex>d[u] \geqslant d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>. Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин. Самое большое расстояние диаметр дерева.
Расстояние до остальных вершин будем искать алгоритмом <tex>BFS</tex>.
+
Расстояние до остальных вершин будем искать [[Обход_в_ширину|алгоритмом <tex>BFS</tex>]].
  
== Реализация ==
+
=== Реализация ===
 +
<span style="color:green">//граф g представлен списком смежности</span>
 +
'''int''' diameterTree('''list<list<int>>''' g):       
 +
    v = u = w = 0
 +
    d = bfs(g, v)
 +
    '''for''' i = 0, i < n, i++
 +
          '''if''' d[i] > d[u]
 +
              u = i
 +
    d = bfs(g, u)
 +
    '''for''' i = 0, i < n, i++
 +
          '''if''' d[i] > d[w]
 +
                w = i
 +
    '''return''' d[w]
  
 +
=== Обоснование корректности ===
 +
Будем пользоваться свойством, что в любом дереве больше одного листа. Исключительный случай — дерево из одной вершины, но алгоритм сработает верно и в этом случае.
  
int diameterTree(graph g)             
+
{{Теорема
{
+
|statement=
    v = u = w = 0;
+
Искомое расстояние — расстояние между двумя листами.
    d = bfs(g,v);
+
|proof=
    for(i = 0; i < n; i++)
+
Пусть искомое расстояние — расстояние между вершинами <tex>a, b</tex>, где <tex>b</tex> не является листом. Так как <tex>b</tex> не является листом, то её степень больше единицы, следовательно, из неё существует ребро в непосещённую вершину (дважды посетить вершину <tex>b</tex> мы не можем).
          if (d[i] > d[u])
+
}}
              u = i;
 
    bfs(g,u);
 
    for(i = 0; i < n; i++)
 
          if (d[i] > d[w])
 
                w = i;
 
    return d[w];
 
}
 
  
 +
После запуска алгоритма получим дерево <tex>BFS</tex>.
  
+
{{Теорема
 +
|statement=
 +
В дереве <tex>BFS</tex> не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.
 +
|proof=
 +
Предположим, существует ребро <tex>u, v</tex> между соседними поддеревьями:
 +
Рассмотрим первую вершину, в которую приведет наш алгоритм, пусть это вершина <tex>u</tex>, тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин <tex>u</tex> мы добавим в список вершину <tex>v</tex>, тем самым исключив возможность попадания их в разные поддеревья.
 +
}}
  
  
== Обоснование корректности ==
+
Мы свели задачу к нахождению вершины <tex>w</tex>, такой что сумма глубин поддеревьев максимальна.
Будем пользоваться свойством,что в любом дереве больше одного листа.Исключительный случай-дерево из одной вершины,но алгоритм сработает верно и в этом случае.
 
  
 +
Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист.
 +
Пусть нет, тогда, взяв расстояние от <tex>w</tex> до глубочайшего листа, мы можем улучшить ответ.
  
{{Теорема
+
Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину <tex>u</tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>BFS</tex>, очевидно, что ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w</tex>, такую что <tex>dist(u, w)</tex> максимально. Вершину <tex>w</tex> можно найти запуском <tex>BFS</tex> из <tex>u</tex>.  
|statement=
 
Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами.
 
|proof=
 
Пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершинами <tex>a,b</tex> где <tex>b</tex> - не является листом. Т.к. b не является листом, то значит её степень <tex>></tex> 1 => из неё существует ребро в непосещенную вершину (дважды посетить вершину <tex>b</tex> мы не можем). Лемма доказана.
 
}}
 
  
 +
=== Оценка времени работы ===
 +
Все операции кроме <tex>BFS</tex> — <tex>O(1)</tex>.
 +
<tex>BFS</tex> работает за линейное время, запускаем мы его два раза. Получаем <tex>O(|V| + |E|)</tex>.
  
 +
== Центр дерева ==
 +
=== Определения ===
 +
{{Определение
 +
|id = tree
 +
|definition =
 +
'''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' (англ. ''eccentricity of a vertex'') — <tex>\max\limits_{u\in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>V</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex>.
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|id = tree
 +
|definition =
 +
'''Радиус <tex>r(G)</tex>''' (англ. ''radius'') — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>.
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|id = tree
 +
|definition =
 +
'''Центральная вершина''' (англ. ''central vertex'') — вершина графа <tex>G</tex>, такая что <tex>e(v) = r(G)</tex>
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|id = tree
 +
|definition =
 +
'''Центр графа <tex>G</tex>''' (англ. ''center of a graph'') — множество всех центральных вершин графа <tex>G</tex>.
 +
}}
 +
[[Файл:Центральные_вершины.png|300px|thumb|left|Примеры деревьев с одной и двумя центральными вершинами]]
 +
[[Файл:Эксцентриситеты.png|400px|thumb|center|Графы, у которых показан эксцентриситет каждой вершины]]
  
 +
=== Алгоритм ===
 +
==== Наивный алгоритм ====
 +
Найдём центр графа исходя из его определения.
 +
* Построим матрицу <tex>A_{n \times n}</tex> (<tex>n</tex> — мощность множества <tex>V</tex>), где <tex>a_{ij} = d_{ij}</tex>, то есть матрицу кратчайших путей. Для её построения можно воспользоваться [[Алгоритм_Флойда|алгоритмом Флойда-Уоршелла]] или [[Алгоритм_Дейкстры|Дейкстры]].
 +
* Подсчитаем максимум в каждой строчке матрицы <tex>A</tex>. Таким образом, получим массив длины <tex>n</tex>.
 +
* Найдём наименьший элемент в этом массиве. Эта вершина и есть центр графа. В том случае, когда вершин несколько, все они являются центрами.
 +
Асимптотика зависит от используемого способа подсчета кратчайших путей. При Флойде это будет <tex>O(V^3)</tex>, а при Дейкстре — максимум из асимптотики конкретной реализации Дейкстры и <tex>O(V^2)</tex>, за которую мы находим максимумы в матрице.
  
После запуска алгоритма получим дерево <tex>BFS</tex>.
+
==== Алгоритм для дерева за O(n) ====
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
В дереве BFS не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.
+
Каждое дерево имеет центр, состоящий из одной вершины или из двух смежных вершин.  
 
|proof=
 
|proof=
Предположим существует, пусть ребро соединяет вершины <tex>u,v</tex> из разных поддеревьев. Рассмотрим первую вершину в которую приведет наш алгоритм. предположим <tex>u</tex>, тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин мы занесем в список вершину <tex>v</tex> тем самым исключим возможность попадания их в разные поддеревья.
+
Утверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, что у любого другого дерева <tex>T</tex> те же центральные вершины, что и у дерева <tex>T'</tex>, полученного из <tex>T</tex> удалением всех его висячих вершин. Расстояние от данной вершины дерева <tex>u</tex> до любой другой вершины <tex>v</tex> достигает наибольшего значения, когда <tex>v</tex> – висячая вершина. Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева <tex>T'</tex> точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве <tex>T</tex>, следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.
 
}}
 
}}
  
 +
Собственно, алгоритм нахождения центра описан в доказательстве теоремы.
  
 +
* Пройдёмся по дереву [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|обходом в глубину]] и пометим все висячие вершины числом <tex>0</tex>.
 +
* Обрежем помеченные вершины.
 +
* Образовавшиеся листья пометим числом <tex>1</tex> и тоже обрежем.
 +
* Будем повторять, пока на текущей глубине не окажется не более двух листьев, и при этом в дереве будет тоже не более двух листьев.
  
 +
Оставшиеся листья являются центром дерева.
  
 +
Для того, чтобы алгоритм работал за <tex>O(n)</tex>, нужно обрабатывать листья по одному, поддерживая в [[Очередь|очереди]] два последовательных по глубине слоя.
  
 +
== См. также ==
 +
*[[Дерево,_эквивалентные_определения|Дерево, эквивалентные определения]]
 +
*[[Дополнительный,_самодополнительный_граф|Дополнительный, самодополнительный граф]]
  
Мы свели задачу к нахождению вершины <tex>w</tex>, такой, что сумма глубин поддеревьев максимальна.
+
== Источники информации ==
 
+
* [[wikipedia:Distance_(graph_theory)|Wikipedia {{---}} Distance (graph theory)]]
Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист.  
+
* ''Ф. Харари'': Теория графов
Пусть нет, тогда взяв расстояние от <tex>w</tex> до глубочайшего листа мы можем улучшить ответ.  
+
* [http://rain.ifmo.ru/cat/data/theory/graph-location/centers-2006/article.pdf ''А. Клебанов'': Центры графов(нерабочая ссылка)]
 
 
Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину <tex>u</tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>bfs</tex>, очевидно что ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w</tex> , что <tex>dist(u, w)</tex> {{---}} максимально. Очевидно, что проблема решается запуском bfs из <tex>u</tex>.  
 
 
 
  
== Оценка производительности ==
+
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
Все операции кроме <tex>BFS</tex> {{---}} <tex>O(1)</tex>.
+
[[Категория: Основные определения теории графов]]
BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E).
 

Версия 23:16, 25 августа 2021

Диаметр дерева

Определение:
Диаметр дерева (англ. diameter of a tree) — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами.


Пусть дан граф [math]G = \langle V, E \rangle [/math]. Тогда диаметром [math]d[/math] называется [math]\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)[/math], где [math]dist[/math] — кратчайшее расстояние между вершинами.

Алгоритм

  • Возьмём любую вершину [math] v \in V [/math] и найдём расстояния до всех других вершин. [math]d[i] = dist(v, i)[/math]
  • Возьмём вершину [math] u \in V [/math] такую, что [math]d[u] \geqslant d[t][/math] для любого [math]t[/math]. Снова найдём расстояние от [math]u[/math] до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева.

Расстояние до остальных вершин будем искать алгоритмом [math]BFS[/math].

Реализация

//граф g представлен списком смежности 
int diameterTree(list<list<int>> g):        
    v = u = w = 0
    d = bfs(g, v)
    for i = 0, i < n, i++
         if d[i] > d[u]
              u = i
    d = bfs(g, u)
    for i = 0, i < n, i++
          if d[i] > d[w]
               w = i
    return d[w]

Обоснование корректности

Будем пользоваться свойством, что в любом дереве больше одного листа. Исключительный случай — дерево из одной вершины, но алгоритм сработает верно и в этом случае.

Теорема:
Искомое расстояние — расстояние между двумя листами.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть искомое расстояние — расстояние между вершинами [math]a, b[/math], где [math]b[/math] не является листом. Так как [math]b[/math] не является листом, то её степень больше единицы, следовательно, из неё существует ребро в непосещённую вершину (дважды посетить вершину [math]b[/math] мы не можем).
[math]\triangleleft[/math]

После запуска алгоритма получим дерево [math]BFS[/math].

Теорема:
В дереве [math]BFS[/math] не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Предположим, существует ребро [math]u, v[/math] между соседними поддеревьями:

Рассмотрим первую вершину, в которую приведет наш алгоритм, пусть это вершина [math]u[/math], тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин [math]u[/math] мы добавим в список вершину [math]v[/math], тем самым исключив возможность попадания их в разные поддеревья.
[math]\triangleleft[/math]


Мы свели задачу к нахождению вершины [math]w[/math], такой что сумма глубин поддеревьев максимальна.

Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист. Пусть нет, тогда, взяв расстояние от [math]w[/math] до глубочайшего листа, мы можем улучшить ответ.

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину [math]u[/math] с наибольшей глубиной после первого [math]BFS[/math], очевидно, что ей в пару надо сопоставить вершину [math]w[/math], такую что [math]dist(u, w)[/math] максимально. Вершину [math]w[/math] можно найти запуском [math]BFS[/math] из [math]u[/math].

Оценка времени работы

Все операции кроме [math]BFS[/math][math]O(1)[/math]. [math]BFS[/math] работает за линейное время, запускаем мы его два раза. Получаем [math]O(|V| + |E|)[/math].

Центр дерева

Определения

Определение:
Эксцентриситет вершины [math]e(v)[/math] (англ. eccentricity of a vertex) — [math]\max\limits_{u\in V} dist(v, u)[/math], где [math]V[/math] — множество вершин связного графа [math]G[/math].


Определение:
Радиус [math]r(G)[/math] (англ. radius) — наименьший из эксцентриситетов вершин графа [math]G[/math].


Определение:
Центральная вершина (англ. central vertex) — вершина графа [math]G[/math], такая что [math]e(v) = r(G)[/math]


Определение:
Центр графа [math]G[/math] (англ. center of a graph) — множество всех центральных вершин графа [math]G[/math].
Примеры деревьев с одной и двумя центральными вершинами
Графы, у которых показан эксцентриситет каждой вершины

Алгоритм

Наивный алгоритм

Найдём центр графа исходя из его определения.

  • Построим матрицу [math]A_{n \times n}[/math] ([math]n[/math] — мощность множества [math]V[/math]), где [math]a_{ij} = d_{ij}[/math], то есть матрицу кратчайших путей. Для её построения можно воспользоваться алгоритмом Флойда-Уоршелла или Дейкстры.
  • Подсчитаем максимум в каждой строчке матрицы [math]A[/math]. Таким образом, получим массив длины [math]n[/math].
  • Найдём наименьший элемент в этом массиве. Эта вершина и есть центр графа. В том случае, когда вершин несколько, все они являются центрами.

Асимптотика зависит от используемого способа подсчета кратчайших путей. При Флойде это будет [math]O(V^3)[/math], а при Дейкстре — максимум из асимптотики конкретной реализации Дейкстры и [math]O(V^2)[/math], за которую мы находим максимумы в матрице.

Алгоритм для дерева за O(n)

Теорема:
Каждое дерево имеет центр, состоящий из одной вершины или из двух смежных вершин.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Утверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, что у любого другого дерева [math]T[/math] те же центральные вершины, что и у дерева [math]T'[/math], полученного из [math]T[/math] удалением всех его висячих вершин. Расстояние от данной вершины дерева [math]u[/math] до любой другой вершины [math]v[/math] достигает наибольшего значения, когда [math]v[/math] – висячая вершина. Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева [math]T'[/math] точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве [math]T[/math], следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.
[math]\triangleleft[/math]

Собственно, алгоритм нахождения центра описан в доказательстве теоремы.

  • Пройдёмся по дереву обходом в глубину и пометим все висячие вершины числом [math]0[/math].
  • Обрежем помеченные вершины.
  • Образовавшиеся листья пометим числом [math]1[/math] и тоже обрежем.
  • Будем повторять, пока на текущей глубине не окажется не более двух листьев, и при этом в дереве будет тоже не более двух листьев.

Оставшиеся листья являются центром дерева.

Для того, чтобы алгоритм работал за [math]O(n)[/math], нужно обрабатывать листья по одному, поддерживая в очереди два последовательных по глубине слоя.

См. также

Источники информации