Редактирование: Алгоритм Ахо-Корасик

{{Задача
|definition = Дан набор строк в алфавите размера <tex>k</tex> суммарной длины <tex>m</tex>. Необходимо найти для каждой строки все ее вхождения в текст.
}}

==Алгоритм==
=== Шаг 1. Построение бора ===
Строим [[Бор|бор]] из строк.<br />
Построение выполняется за время <tex>O(m)</tex>, где <tex>m</tex> {{---}} суммарная длина строк.

====Пример построенного бора====
Бор для набора строк <tex> \{ \textbf{he},\ \textbf{she},\ \textbf{his},\ \textbf{hers}\} </tex>:<br />
[[Файл:Бор.jpg‎]]

=== Шаг 2. Преобразование бора ===
Обозначим за <tex>[u]</tex> слово, приводящее в вершину <tex>u</tex> в боре.<br />
Узлы бора можно понимать как состояния [[Детерминированные_конечные_автоматы | автомата]], а корень как начальное состояние.<br />
Узлы бора, в которых заканчиваются строки, становятся терминальными.<br />
Для переходов по автомату заведём в узлах несколько функций:<br />
*<tex>\mathrm{parent}(u)</tex> {{---}} возвращает родителя вершины <tex>u</tex>;<br />
*<tex>\pi(u) = \delta(\pi(\mathrm{parent}(u)), c)</tex> {{---}} суффиксная ссылка, и существует переход из  <tex>\mathrm{parent}(u)</tex> в <tex>u</tex> по символу <tex>c</tex>;<br />
*<tex>\delta(u, c) = 
  \begin{cases}
     v,                 &\text{if $v$ is son by symbol $c$ in trie;}\\
     root,              &\text{if $u$ is root and $u$ has no child by symbol $c$ in trie}\\
     \delta(\pi(u), c), &\text{else.}
   \end{cases}</tex> {{---}} функция перехода.
Мы можем понимать рёбра бора как переходы в автомате по соответствующей букве. Однако одними только рёбрами бора нельзя ограничиваться. Если мы пытаемся выполнить переход по какой-либо букве, а соответствующего ребра в боре нет, то мы тем не менее должны перейти в какое-то состояние. Для этого нам и нужны суффиксные ссылки.
<br> Суффиксная ссылка <tex>\pi(u) = v</tex>, если <tex>[v]</tex> {{---}} максимальный суффикс <tex>[u]</tex>, <tex>[v]\neq[u]</tex>.
Функции перехода и суффиксные ссылки можно найти либо алгоритмом [[Обход в глубину, цвета вершин | обхода в глубину]] с ленивыми вычислениями, либо с помощью алгоритма [[Обход в ширину | обхода в ширину]].

Из определений выше можно заметить два следующих факта:
* функция перехода определена через суффиксную ссылку, а суффиксная ссылка {{---}} через функию переходов;
* для построения суффиксных ссылок небходимо знать информацию только выше по бору от текущей вершины до корня.
Это позволяет реализовать функции поиска переходов по символу и суффиксных ссылок ленивым образом при помощи взаимной рекурсии.

==== Пример автомата Ахо-Корасик ====
[[Файл:axo.jpg]]<br />
Пунктиром обозначены суффиксные ссылки. Из вершин, для которых они не показаны, суффиксные ссылки идут в корень.

Суффиксная ссылка для каждой вершины <tex>u</tex> — это вершина, в которой оканчивается наидлиннейший собственный суффикс строки, соответствующей вершине <tex>u</tex>. Единственный особый случай — корень бора: для удобства суффиксную ссылку из него проведём в себя же. Например, для вершины <tex>5</tex> с соответствующей ей строкой <tex>\textbf{she}</tex> максимальным подходящим суффиксом является строка <tex>\textbf{he}</tex>. Видим, что такая строка заканчивается в вершине <tex>2</tex>. Следовательно суффиксной ссылкой вершины для <tex>5</tex> является вершина <tex>2</tex>.

===Шаг 3. Построение сжатых суффиксных ссылок ===
При построении автомата может возникнуть такая ситуация, что ветвление есть не на каждом символе. Тогда можно маленький бамбук заменить одним ребром. Для этого и используются сжатые суффиксные ссылки.

<tex>up(u) = 
  \begin{cases}
    \pi(u),     &\text{if $\pi(u)$ is terminal;}\\
    \varnothing,&\text{if $\pi(u)$ is root;}\\
    up(\pi(u)), &\text{else.}
  \end{cases}</tex> 

где <tex>up</tex> {{---}} сжатая суффиксная ссылка, т.е. ближайшее допускающее состояние (терминал) перехода по суффиксным ссылкам. Аналогично обычным суффиксным ссылкам сжатые суффиксные ссылки могут быть найдены при помощи ленивой рекурсии.

== Использование автомата ==
Теперь нужно сказать немного слов о том, как мы будем использовать наш автомат. По очереди просматриваем символы текста. Для очередного символа <tex>c</tex> переходим из текущего состояния <tex>u</tex> в состояние, которое вернёт функция <tex>\delta(u, c)</tex>. Оказавшись в новом состоянии, отмечаем по сжатым суффиксным ссылкам строки, которые нам встретились и их позицию (если требуется). Если новое состояние является терминалом, то соответствующие ему строки тоже отмечаем.<br />

== Пример реализации ==
Ниже представлена реализация некоторых функций (используется ленивая рекурсия).<br />
<tex>k</tex> {{---}} размер алфавита.

'''Структура вершины:'''
 '''struct''' Node:
     '''Node''' son[k]                                 <font color=green>// массив сыновей</font>
     '''Node''' go[k]                                  <font color=green>// массив переходов (запоминаем переходы в ленивой рекурсии), используемый для вычисления суффиксных ссылок</font>
     '''Node''' parent                                 <font color=green>// вершина родитель</font>
     '''Node''' suffLink                               <font color=green>// суффиксная ссылка (вычисляем в ленивой рекурсии)</font>
     '''Node''' up                                     <font color=green>// сжатая суффиксная ссылка</font>
     '''char''' charToParent                           <font color=green>// символ, ведущий к родителю</font>
     '''bool''' isLeaf                                 <font color=green>// флаг, является ли вершина терминалом</font>
     '''vector<int>''' leafPatternNumber               <font color=green>// номера строк, за которые отвечает терминал</font>

'''Функция для вычисления суффиксной ссылки:'''
 '''Node''' getSuffLink('''Node''' v):
     '''if''' v.suffLink == ''null''                       <font color=green>// если суффиксная ссылка ещё не вычислена</font>
        '''if''' v == root '''or''' v.parent == root
             v.suffLink = root
        '''else'''
             v.suffLink = getLink(getSuffLink(v.parent), v.charToParent)
     '''return''' v.suffLink
 
'''Функция для вычисления перехода:'''
 '''Node''' getLink('''Node''' v, '''char''' c): 
    '''if''' v.go[c] == ''null''                           <font color=green>// если переход по символу c ещё не вычислен</font>
         '''if''' v.son[c]
             v.go[c] = v.son[c]
         '''else''' '''if''' v == root 
             v.go[c] = root 
         '''else''' 
             v.go[c] = getLink(getSuffLink(v), c)
     '''return''' v.go[c]
 
'''Функция для вычисления сжатой суффиксной ссылки:'''
 '''Node''' getUp('''Node''' v):
     '''if''' v.up == ''null''                             <font color=green>// если сжатая суффиксная ссылка ещё не вычислена</font>
         '''if''' getSuffLink(v).isLeaf
             v.up = getSuffLink(v)
         '''else''' '''if''' getSuffLink(v) == root
             v.up = root
         '''else''' 
             v.up = getUp(getSuffLink(v))
     '''return''' v.up

'''Функция для добавления строки в бор:'''
 '''fun''' addString('''string''' s, '''int''' patternNumber):
     '''Node''' cur = root
     '''for''' i = 0 '''to''' s.length - 1
         '''char''' c = s[i]
         '''if''' cur.son[c] == 0
             cur.son[c] = Node
             <font color=green>/* здесь также нужно обнулить указатели на переходы и сыновей */</font>
             cur.son[c].suffLink = 0
             cur.son[c].up = 0
             cur.son[c].parent = cur
             cur.son[c].charToParent = c
             cur.son[c].isLeaf = ''false''
         cur = cur.son[c]
     cur.isLeaf = ''true''
     cur.leafPatternNumber.pushBack(patternNumber)
'''Функция для процессинга текста (поиск, встречается строка или нет):'''
 '''fun''' processText('''string''' t):   
     '''Node''' cur = root
     '''for''' i = 0 '''to''' t.length - 1 
         '''char''' c = t[i] - 'a'
         cur = getLink(cur, c)
         <font color=green>/* В этом месте кода должен выполняться переход по '''сжатой''' суффиксной ссылке getUp(cur). Для вершины,
            обнаруженной по ней тоже ставим, что она найдена, затем повторяем для её сжатой суффиксной ссылки
            и так до корня. */</font>
Кроме этих функций требуется инициализация, но она имеет отношение только к кодированию, поэтому здесь приведена не будет.

== Оптимизации ==
Существует несколько оптимизаций данного алгоритма, направленных на случаи, когда нас интересует только первое вхождение образца в текст:

# '''Сброс сжатых суффиксных ссылок для посещённых вершин.''' 
#: Существенно ускорить работу алгоритма могут пометки о посещённости узла, то есть если узел посещён, то не переходить по сжатым суффиксным ссылкам. Вместо хранения пометок можно просто сбрасывать сжатую суффиксную ссылку.
# '''Сброс пометки терминальной вершины.''' 
#: В изначальном множестве образцов могут быть дублирующиеся строки. Мы можем хотеть из различать, если с одинаковыми строками связана разная мета-информация. Тогда при попадании в терминальную вершину можно осуществлять сброс пометки этой терминальной вершины, что сэкономит время на обновлении информации о вхождении образцов в текст. Тривиальным примером, в котором возникает ситуация долгой обработки, служит огромное множество образцов из одинаковых символов и текст только из этих символов.

== Поиск шаблонов с масками ==

{{Задача
|definition = Пусть <tex>\varphi</tex> {{---}} маска, обозначающая любой одиночный символ. Необходимо найти для каждого заданного шаблона с масками все его вхождения в текст.<BR>
}}
Например, шаблон <tex>ab\varphi\varphi c\varphi</tex>, который содержит в себе три маски, встречается на позициях <tex>2</tex> и <tex>7</tex> строки <tex>xabvccababcax</tex>. 

=== Алгоритм поиска ===

Для того чтобы найти все вхождения в текст заданного шаблона с масками <tex>Q</tex>, необходимо обнаружить вхождения в текст всех его безмасочных кусков.<BR>
Пусть <tex>\{Q_1, \dots, Q_k \}</tex> {{---}} набор подстрок
<tex>Q</tex>, разделенных масками, и пусть <tex>\{ l_1, \dots, l_k \}</tex> {{---}} их стартовые позиции в <tex>Q</tex>. Например, шаблон <tex>ab\varphi\varphi c\varphi</tex> содержит две подстроки без масок <tex>ab</tex> и <tex>c</tex> и их стартовые позиции соответственно <tex>1</tex> и <tex>5</tex>. Для алгоритма понадобится массив <tex>C</tex>. <tex>C[i]</tex> {{---}} количество встретившихся в тексте безмасочных подстрок шаблона, который начинается в тексте на позиции <tex>i</tex>. Тогда появление подстроки <tex>Q_i</tex> в тексте на позиции <tex>j</tex> будет означать возможное появление шаблона на позиции <tex>j - l_i + 1</tex>.<BR>
# Используя алгоритм Ахо-Корасик, находим безмасочные подстроки шаблона <tex>Q</tex>: когда находим <tex>Q_i</tex> в тексте <tex>T</tex> на позиции <tex>j</tex>, увеличиваем на единицу <tex>C[j - l_i + 1]</tex>.<BR>
# Каждое <tex>i</tex>, для которого <tex>C[i] = k</tex>, является стартовой позицией появления шаблона <tex>Q</tex> в тексте.<BR>
Рассмотрим подстроку текста <tex>T[i \dots i+n-1]</tex>. Равенство <tex>C[i] = k</tex> будет означать, что подстроки текста <tex> T[i + l_1 \dots i + l_1 + |Q_1| - 1],  T[i + l_2 \dots i + l_2 + |Q_2| - 1]</tex> и так далее будут равны соответственно безмасочным подстрокам шаблона <tex>\{Q_1, \dots , Q_k \}</tex>. Остальная часть шаблона является масками, поэтому шаблон входит в текст на позиции <tex>i</tex>.<BR>
Поиск подстрок заданного шаблона с помощью алгоритма Ахо-Корасик выполняется за время <tex>O(m+n+a)</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} суммарная длина подстрок, то есть длина шаблона, <tex>m</tex> {{---}} длина текста, <tex>a</tex> {{---}} количество появлений подстрок шаблона. Далее просто надо пробежаться по массиву <tex>C</tex> и просмотреть значения ячеек за время <tex>O (m)</tex>.

==См. также==
* [[Алгоритм Бойера-Мура]]
* [[Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта]]

== Источники информации ==
*[http://e-maxx.ru/algo/aho_corasick MAXimal :: algo :: Алгоритм Ахо-Корасик]
*[http://aho-corasick.narod.ru Сопоставление множеств и алгоритм Ахо-Корасик]
*[http://codeforces.com/blog/entry/14854?locale=ru Codeforces :: Алгоритм Ахо-Корасик]
*[https://habrahabr.ru/post/198682/ Habr :: Алгоритм Ахо-Корасик]
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%90%D1%85%D0%BE_%E2%80%94_%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BA Wiki :: Алгоритм Ахо-Корасик]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] 
[[Категория: Поиск подстроки в строке]]
[[Категория: Точный поиск]]