Алгоритм Борувки — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Доказательство корректности)
Строка 59: Строка 59:
 
Общее время работы алгоритма получается <tex>O(E\log{V})</tex>
 
Общее время работы алгоритма получается <tex>O(E\log{V})</tex>
  
==Литература==
+
== Ссылки ==
* ''Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)
+
*[http://www.csee.wvu.edu/~ksmani/courses/fa01/random/lecnotes/lecture11.pdf Minimum Spanning Trees]
 +
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%91%D0%BE%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%BA%D0%B8 Алгоритм Борувки— Википедия]
  
 
==См. также==
 
==См. также==

Версия 21:57, 15 декабря 2012

Алгоритм Борувки — алгоритм поиска минимального остовного дерева (minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе. Впервые был опубликован в 1926 году Отакаром Борувкой.

Описание алгоритма

Пусть [math]T[/math] подграф графа [math]G[/math]. Изначально [math]T[/math] содердит все вершины из [math]G[/math] и не содержит ребер.

Будем добавлять в [math]T[/math] ребра следующим образом:

Пока [math]T[/math] не является деревом

  1. Для каждой компоненты связанности находим минимальное по весу ребро, которое связывает вершину из данной компоненты с вершиной, не принадлежащей данной компоненте.
  2. Добавим в [math]T[/math] все ребра, которые хотя бы для одной компоненты оказались минимальными.

Получившийся граф [math]T[/math] является минимальным остовным деревом графа [math]G[/math].

Доказательство корректности

Лемма:
Рассмотрим связный неориентированный взвешенный граф [math] G = (V, E) [/math] с весовой функцией [math]w : E \to \mathbb{R}[/math]. Тогда после первой итерации алгоритма Борувки получившийся подграф можно достроить до MST.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Предположим обратное: пусть любое MST графа [math]G[/math] не содержит [math]T[/math]. Рассмотрим какое-нибудь MST.Тогда существует ребро x из [math]T[/math] такое что [math]x[/math] не принадлежит MST. Добавив ребро [math]x[/math] в MST получаем цикл в котором [math]x[/math] не максимально т.к оно было минимальным. Тогда, исходя из критерия тарьяна, получаем противоречие.
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
Алгоритм Борувки строит MST.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Очевидно, что агоритм Борувки строит дерево.Будем доказывать что после каждой итерации главного цикла в алгоритме Борувки мы можем текущий подграф [math]T[/math] до MST.

Докажем это по индукции.

База: [math]n[/math] = 1(Лемма 1).

Переход: Пусть лес [math]T[/math] получившийся после [math]n[/math] итераций алгоритма можно достроить до MST. Докажем что после [math]n[/math]+1-й итерации получившийся лес [math]T'[/math] можно достроить до MST.Предположим обратное: [math]T'[/math] нельзя достроить до MST. Тогда существует [math]F[/math] = MST графа [math]G[/math], содержащее [math]T[/math] и не содержащее [math]T'[/math]. Тогда рассмотрим цикл получающийся добавлением в [math]F[/math] какого-нибудь ребра [math]x[/math] из [math]T'[/math] - [math]T[/math]. На этом цикле имеется ребро большее по весу чем ребро [math]x[/math], иначе компонента для которой [math]x[/math] было минимальным ни с кем больше ни связана.Следовательно исходя из критерия тарьяна мы получили противоречие.
[math]\triangleleft[/math]

Реализация

  Graph Boruvka(Graph G)
      while T.size < n
           init()                                            // у вершины есть поле comp(компонента которой принадлежит вершина) 
           findComp(T)                                       // разбиваеv граф T на компоненты связынности обычным dfs-ом
           for uv [math]\in[/math] E
               if u.comp != v.comp
                   if minEdge[u.comp].w < uv.w
                       minEdge[u.comp] = uv
                   if minEdge[v.comp].w < uv.w
                       minEdge[v.comp] = uv)
           for k [math]\in[/math] Comp                                       // Comp — множество компонент связанности в T
                   T.addEdge(minEdge[k])
      return T;     

Асимптотика

Время работы внутри главного цикла будет равно [math]O(E + V)[/math].

Количество итераций которое выполняется главным циклом равно [math]O(\log{V})[/math] так как на каждой итерации количество компонент связанности уменьшается в 2 раза (изначально количество компонент равно [math]|V|[/math], в итоге должна стать одна компонента).

Общее время работы алгоритма получается [math]O(E\log{V})[/math]

Ссылки

См. также