Алгоритм Борувки — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Реализация)
(Описание алгоритма)
Строка 4: Строка 4:
 
==Описание алгоритма==
 
==Описание алгоритма==
  
Пока <tex>F</tex> не является деревом
+
Пока <tex>T</tex> не является деревом
 
# Для каждой компоненты связанности находим минимальное по весу ребро, которое связывает вершину из данной компоненты с вершиной, не принадлежащей данной компоненте.   
 
# Для каждой компоненты связанности находим минимальное по весу ребро, которое связывает вершину из данной компоненты с вершиной, не принадлежащей данной компоненте.   
# Добавим в <tex>F</tex> все ребра, которые хотя бы для одной компоненты оказались минимальными.
+
# Добавим в <tex>T</tex> все ребра, которые хотя бы для одной компоненты оказались минимальными.
 
Получившееся множество <tex>F</tex> является минимальным остовным деревом графа <tex>G</tex>.
 
Получившееся множество <tex>F</tex> является минимальным остовным деревом графа <tex>G</tex>.
 
 
  
 
==Реализация==
 
==Реализация==

Версия 02:06, 15 декабря 2012

Алгоритм Борувки — алгоритм поиска минимального остовного дерева (minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе. Впервые был опубликован в 1926 году Отакаром Борувкой.

Описание алгоритма

Пока [math]T[/math] не является деревом

  1. Для каждой компоненты связанности находим минимальное по весу ребро, которое связывает вершину из данной компоненты с вершиной, не принадлежащей данной компоненте.
  2. Добавим в [math]T[/math] все ребра, которые хотя бы для одной компоненты оказались минимальными.

Получившееся множество [math]F[/math] является минимальным остовным деревом графа [math]G[/math].

Реализация

  Graph Boruvka(Graph G)
      while T.size < n
           init()
           findComp(T)                                       // разбивает граф T на компоненты связынности обычным dfs-ом
           for uv [math]\in[/math] E
               if u.color != v.color
                   if minEdge[u.comp].w < uv.w
                       minEdge[u.comp] = uv
                   if minEdge[v.comp].w < uv.w
                       minEdge[v.comp] = uv)
           for k [math]\in[/math] K                            // K - множество компонент связанности в T
                   T.addEdge(minEdge[k])
            
      return T;     

Вход: граф [math]G = (V, E)[/math]
Выход: минимальный остов [math]F[/math] графа [math]G[/math]
1) [math]F := (V, \varnothing)[/math]
1) Отсортируем [math]E[/math] по весу ребер.
2) Заведем систему непересекающихся множеств (DSU) и инициализируем ее множеством [math]V[/math].
3) Перебирая ребра [math]uv \in EG[/math] в порядке увеличения веса, смотрим, принадлежат ли [math]u[/math] и [math]v[/math] одному множеству. Если нет, то объединяем множества, в которых лежат [math]u[/math] и [math]v[/math], и добавляем ребро [math]uv[/math] к [math]F[/math].

Асимптотика

Сортировка [math]E[/math] займет [math]O(E\log E)[/math].
Работа с DSU займет [math]O(E\alpha(V))[/math], где [math]\alpha[/math] - обратная функция Аккермана, которая не превосходит 4 во всех практических приложениях и которую можно принять за константу.
Алгоритм работает за [math]O(E(\log E+\alpha(V))) = O(E\log E) = O(E\log V^2) = O(E\log V)[/math].

Литература

  • Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)

См. также