Алгоритм Бржозовского — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 50: Строка 50:
 
Пусть <tex>\mathcal{A} = \langle \Sigma , Q , I , T , \delta \rangle</tex> {{---}} [[Недетерминированные_конечные_автоматы|НКА]].<br>Тогда детерминированный автомат <tex>d(\mathcal{A}) = \langle \Sigma , Q' , \{ i' \} , T' , \delta' \rangle</tex> определяется следующим образом:
 
Пусть <tex>\mathcal{A} = \langle \Sigma , Q , I , T , \delta \rangle</tex> {{---}} [[Недетерминированные_конечные_автоматы|НКА]].<br>Тогда детерминированный автомат <tex>d(\mathcal{A}) = \langle \Sigma , Q' , \{ i' \} , T' , \delta' \rangle</tex> определяется следующим образом:
 
* Детерминированному состоянию соответствует множество недетерминированных состояний: для каждого <tex>q' \in Q'</tex> имеем <tex>q' \subseteq Q</tex>,
 
* Детерминированному состоянию соответствует множество недетерминированных состояний: для каждого <tex>q' \in Q'</tex> имеем <tex>q' \subseteq Q</tex>,
 +
* Начальное состояние в <tex>d(\mathcal{A})</tex> {{---}} множество из <tex>I</tex> начальных состояний автомата <tex>\mathcal{A}</tex>,
 +
* Состояние в детерминированном автомате является терминальным тогда и только тогда, когда оно содержится хотя бы в одном недетерминированном состоянии,
 +
* Пусть <tex>q'</tex> {{---}} состояние детерминированного автомата и <tex>a</tex> – символ из <tex>\Sigma</tex>. Если переход из <tex>q'</tex> по символу <tex>a</tex> определен, тогда, по построению: <tex>\delta'(q', a) = \bigcup\limits_{q \in q'}{ \delta(q, a)}</tex>.
 +
 +
{{Утверждение
 +
|about=4
 +
|statement=
 +
Правый язык состояния <tex>q'</tex> <tex>d(\mathcal{A})</tex> эквивалентен объединению правых языков состояний <tex>q \mathcal{A}</tex>, принадлежащих множеству <tex>q'</tex>.
 +
}}
 +
 +
  
 
==Алгоритм==
 
==Алгоритм==

Версия 00:37, 29 октября 2016

Задача:
Пусть дан автомат [math]\mathcal{A}[/math]. Требуется построить автомат [math]\mathcal{A}_{min}[/math] с наименьшим количеством состояний, распознающий тот же язык, что и [math]\mathcal{A}[/math].


Описание

Пусть [math]q[/math] — состояние автомата [math]\mathcal{A} = \langle \Sigma , Q, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to Q \rangle[/math].

Определение:
Правым языком (англ. right language) — называется язык [math]L_d(q)[/math], принимаемый автоматом [math]\mathcal{A}_{d}(q) = \langle \Sigma , Q , q , T , \delta \rangle[/math], полученным из [math]\mathcal{A}[/math] путём добавления уникального начального состояния [math]q[/math].


Определение:
Левым языком (англ. left language) — называется язык [math]L_g(q)[/math], принимаемый автоматом [math]\mathcal{A}_{g}(q) = \langle \Sigma , Q , q , T , \delta \rangle[/math], полученным из [math]\mathcal{A}[/math] путём добавления уникального терминального состояния [math]q[/math].


Утверждение (1):
Автомат является детерминированным тогда и только тогда, когда левые языки его состояний попарно не пересекаются.


Определение:
Обратное слово [math]r(u)[/math] для слова [math]u[/math] определяется следующим образом: [math]r(\varepsilon) = \varepsilon[/math] и если [math]u = u_1 u_2 u_3 \dotsc u_p[/math], тогда [math]r(u) = v_1 v_2 v_3 \dotsc v_p[/math], где [math]v_i = u_{p - i + 1}[/math].


Определение:
Обратный язык для языка [math]L[/math] — язык [math]r(L) = \{ u \mid r(u) \in L \}[/math].


Определение:
Обратный автомат для автомата [math]\mathcal{A} = \langle \Sigma , Q , S , T , \delta \rangle[/math] — автомат [math]r(\mathcal{A}) = \langle \Sigma , Q , T , I , r(\delta) \rangle[/math], полученный из [math]\mathcal{A}[/math] сменой местами начальных и конечных состояний и сменой направлений переходов.


Утверждение (2):
Если [math]\mathcal{A}[/math] распознает язык [math]L[/math], то [math]r(\mathcal{A})[/math] распознает [math]r(L)[/math].
Утверждение (3):
Если левый язык состояния [math]q[/math] в [math]\mathcal{A}[/math][math]L_g(q)[/math], тогда его левый язык в [math]r(A)[/math][math]L_d(q)[/math]. Аналогично для правого языка [math]q[/math].

Пусть [math]\mathcal{A} = \langle \Sigma , Q , I , T , \delta \rangle[/math]НКА.
Тогда детерминированный автомат [math]d(\mathcal{A}) = \langle \Sigma , Q' , \{ i' \} , T' , \delta' \rangle[/math] определяется следующим образом:

  • Детерминированному состоянию соответствует множество недетерминированных состояний: для каждого [math]q' \in Q'[/math] имеем [math]q' \subseteq Q[/math],
  • Начальное состояние в [math]d(\mathcal{A})[/math] — множество из [math]I[/math] начальных состояний автомата [math]\mathcal{A}[/math],
  • Состояние в детерминированном автомате является терминальным тогда и только тогда, когда оно содержится хотя бы в одном недетерминированном состоянии,
  • Пусть [math]q'[/math] — состояние детерминированного автомата и [math]a[/math] – символ из [math]\Sigma[/math]. Если переход из [math]q'[/math] по символу [math]a[/math] определен, тогда, по построению: [math]\delta'(q', a) = \bigcup\limits_{q \in q'}{ \delta(q, a)}[/math].
Утверждение (4):
Правый язык состояния [math]q'[/math] [math]d(\mathcal{A})[/math] эквивалентен объединению правых языков состояний [math]q \mathcal{A}[/math], принадлежащих множеству [math]q'[/math].


Алгоритм

Описание

Алгоритм минимизации конечных автоматов Бржозовского (Janusz A. (John) Brzozowski) выделяется, по крайней мере, следующими качествами:

Обладая обычными процедурами обращения [math]\operatorname{rev}[/math] и детерминизации [math]\operatorname{det}[/math] конечного автомата, мы, с помощью идеи Бржозовского, можем немедленно приступить к минимизации заданного автомата. Для этого надо дважды провести его через обе вышеуказанные процедуры:

[math]mFA = \operatorname {det}(\operatorname{rev}(\operatorname{det}(\operatorname{rev}(FA))))[/math], где

  • [math]FA[/math] это исходный КА,
  • [math]\operatorname{rev}[/math] это процедура обращения КА,
  • [math]\operatorname{det}[/math] это процедура детерминизации КА,
  • [math]mFA[/math] это минимизированный КА.

Корректность

Корректность алгоритма доказана в работе[1]

Пример работы

  1. Исходный НКА ([math]FA[/math]):
    Исходный НКА
  2. Первый шаг алгоритма ([math]\operatorname{rev}(FA)[/math]):
    Первый шаг
  3. Второй шаг алгоритма ([math]\operatorname{det}(\operatorname{rev}(FA))[/math]):
    Второй шаг
    [math]\operatorname{det}[/math] переименовывает состояния, после этого [math]0[/math] всегда является начальным состоянием
  4. Третий шаг алгоритма ([math]\operatorname{rev}(\operatorname{det}(\operatorname{rev}(FA)))[/math]):
    Третий шаг
    После выполнения этого шага алгоритма оба состояния [math]2[/math] и [math]3[/math] являются начальными.
  5. Заключительный шаг алгоритма ([math]\operatorname{det}(\operatorname{rev}(\operatorname{det}(\operatorname{rev}(FA))))[/math]):
    Заключительный шаг

Заключение

Самым эффективным алгоритмом минимизации принято считать алгоритм Хопкрофта, который, как и прочие традиционные алгоритмы, работает только с ДКА. Его асимптотическое время выполнения зависит от логарифма исходных данных. С другой стороны очевидно, что алгоритм Бржозовского в худшем случае будет обладать экспоненциальным временем выполнения, ведь этого требует процедура детерминизации, выполняемая дважды. На практике же наблюдается парадокс, алгоритм Бржозовского во многих случаях опережает прочие подходы к минимизации, включая и алгоритм Хопкрофта. В работе[2], сравнивающей оба алгоритма, показано, что алгоритм Бржозовского оказывается эффективнее алгоритма Хопкрофта для автоматов с большим числом переходов.

См. также

Примечания

Источники информации