Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Замечание)
 
(не показано 11 промежуточных версий 2 участников)
Строка 4: Строка 4:
 
Дана цепочка <tex>T</tex> и образец <tex>P</tex>. Требуется найти все позиции, начиная с которых <tex>P</tex> входит в <tex>T</tex>.
 
Дана цепочка <tex>T</tex> и образец <tex>P</tex>. Требуется найти все позиции, начиная с которых <tex>P</tex> входит в <tex>T</tex>.
 
<br>
 
<br>
Построим строку <tex>S = P\#T</tex>, где <tex>\#</tex> — любой символ, не входящий в алфавит <tex>P</tex> и <tex>T</tex>. Посчитаем на ней значение [[Префикс-функция|префикс-функции]]. Благодаря разделительному символу <tex>\#</tex>, выполняется <tex>\forall i: \pi[i] \leqslant |P|</tex>. Заметим, что по определению [[Префикс-функция|префикс-функции]] при <tex>i > |P|</tex> и <tex>\pi[i] = |P|</tex> подстроки длины <tex>P</tex>, начинающиеся с позиций <tex>0</tex> и <tex>i - |P| + 1</tex>, совпадают. Соберем все такие позиции <tex>i - |P| + 1</tex> строки <tex>S</tex>, вычтем из каждой позиции <tex>|P| + 1</tex>, это и будет ответ. Другими словами, если в какой-то позиции <tex>i</tex> выполняется условие <tex>\pi[i]=|P|</tex>, то в этой позиции начинается очередное вхождение образца в цепочку.
+
Построим строку <tex>S = P\#T</tex>, где <tex>\#</tex> — любой символ, не входящий в алфавит <tex>P</tex> и <tex>T</tex>. Посчитаем на ней значение [[Префикс-функция|префикс-функции]] <tex> p </tex>. Благодаря разделительному символу <tex>\#</tex>, выполняется <tex>\forall i: p[i] \leqslant |P|</tex>. Заметим, что по определению [[Префикс-функция|префикс-функции]] при <tex>i > |P|</tex> и <tex>p[i] = |P|</tex> подстроки длины <tex>P</tex>, начинающиеся с позиций <tex>0</tex> и <tex>i - |P| + 1</tex>, совпадают. Соберем все такие позиции <tex>i - |P| + 1</tex> строки <tex>S</tex>, вычтем из каждой позиции <tex>|P| + 1</tex>, это и будет ответ. Другими словами, если в какой-то позиции <tex>i</tex> выполняется условие <tex>p[i]=|P|</tex>, то в этой позиции начинается очередное вхождение образца в цепочку.
<br>
+
 
 +
 
 
[[Файл:kmp_pict2.png|640px]]
 
[[Файл:kmp_pict2.png|640px]]
  
 
==Псевдокод==
 
==Псевдокод==
  '''int'''[] kmp('''string''' T, '''string''' P)
+
  '''int'''[] kmp('''string''' P, '''string''' T):
     '''int''' p = P.length
+
     '''int''' pl = P.length
     '''int''' t = T.length
+
     '''int''' tl = T.length
 
     '''int'''[] answer
 
     '''int'''[] answer
     '''int'''[] <tex>\pi</tex> = [[Префикс-функция#Эффективный_алгоритм|prefixFunction(P + "#" + T)]]
+
     '''int'''[] p = [[Префикс-функция#Эффективный_алгоритм|prefixFunction(P + "#" + T)]]
 
     '''int''' count = 0
 
     '''int''' count = 0
     '''for''' i = 0 .. t - 1
+
     '''for''' i = 0 .. tl - 1
       '''if''' <tex>\pi</tex>[p + i + 1] == p
+
       '''if''' p[pl + i + 1] == pl
 
           answer[count++] = i
 
           answer[count++] = i
 
     '''return''' answer
 
     '''return''' answer
Строка 24: Строка 25:
  
 
==Оценка по памяти==
 
==Оценка по памяти==
Предложенная реализация имеет оценку по памяти <tex>O(P+T)</tex>. Оценки <tex>O(P)</tex> можно добиться за счет отказа от запоминания значений префикс-функции для позиций в <tex>S</tex>, меньших <tex>p + 1</tex> (т.е. до начала цепочки <tex>T</tex>). Это возможно, так как значение префикс функции не может превысить длину образца, благодаря разделительному символу <tex>\#</tex>.
+
Предложенная реализация имеет оценку по памяти <tex>O(P+T)</tex>. Оценки <tex>O(P)</tex> можно добиться за счет отказа от запоминания значений префикс-функции для позиций в <tex>S</tex>, меньших <tex>|P| + 1</tex> (то есть до начала цепочки <tex>T</tex>). Это возможно, так как значение префикс-функции не может превысить длину образца, благодаря разделительному символу <tex>\#</tex>.
 +
 
 +
==Замечание==
 +
Вместо [[Префикс-функция|префикс-функции]] в алгоритме Кнута-Морриса-Пратта можно использовать [[Z-функция|Z-функцию]]. Оценки времени работы и памяти при этом не изменятся.
  
 
==См. также==
 
==См. также==
Строка 30: Строка 34:
 
*[[Алгоритм Бойера-Мура|Алгоритм Бойера-Мура]]
 
*[[Алгоритм Бойера-Мура|Алгоритм Бойера-Мура]]
 
*[[Алгоритм Колусси|Алгоритм Колусси]]
 
*[[Алгоритм Колусси|Алгоритм Колусси]]
 +
*[[Префикс-функция|Префикс-функция]]
 +
*[[Z-функция|Z-функция]]
  
==Источники==
+
==Источники информации==
 +
*[[wikipedia:en:Knuth–Morris–Pratt algorithm | Wikipedia {{---}} Knuth–Morris–Pratt algorithm]]
 
*[[wikipedia:ru:Алгоритм Кнута — Морриса — Пратта | Википедия {{---}} Алгоритм Кнута — Морриса — Пратта]]
 
*[[wikipedia:ru:Алгоритм Кнута — Морриса — Пратта | Википедия {{---}} Алгоритм Кнута — Морриса — Пратта]]
*[[wikipedia:en:Knuth–Morris–Pratt algorithm | Wikipedia {{---}} Knuth–Morris–Pratt algorithm]]
 
 
*Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн — Алгоритмы: построение и анализ / пер. с англ. — изд. 2-е — М.: Издательский дом «Вильямс», 2009. — с.1036. — ISBN 978-5-8459-0857-5.
 
*Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн — Алгоритмы: построение и анализ / пер. с англ. — изд. 2-е — М.: Издательский дом «Вильямс», 2009. — с.1036. — ISBN 978-5-8459-0857-5.
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Поиск подстроки в строке]]
 
[[Категория: Поиск подстроки в строке]]
 +
[[Категория:Точный поиск]]

Текущая версия на 18:52, 10 марта 2018

Алгоритм Кнута — Морриса — Пратта (англ. Knuth–Morris–Pratt algorithm) — алгоритм поиска подстроки в строке.

Описание алгоритма[править]

Дана цепочка [math]T[/math] и образец [math]P[/math]. Требуется найти все позиции, начиная с которых [math]P[/math] входит в [math]T[/math].
Построим строку [math]S = P\#T[/math], где [math]\#[/math] — любой символ, не входящий в алфавит [math]P[/math] и [math]T[/math]. Посчитаем на ней значение префикс-функции [math] p [/math]. Благодаря разделительному символу [math]\#[/math], выполняется [math]\forall i: p[i] \leqslant |P|[/math]. Заметим, что по определению префикс-функции при [math]i \gt |P|[/math] и [math]p[i] = |P|[/math] подстроки длины [math]P[/math], начинающиеся с позиций [math]0[/math] и [math]i - |P| + 1[/math], совпадают. Соберем все такие позиции [math]i - |P| + 1[/math] строки [math]S[/math], вычтем из каждой позиции [math]|P| + 1[/math], это и будет ответ. Другими словами, если в какой-то позиции [math]i[/math] выполняется условие [math]p[i]=|P|[/math], то в этой позиции начинается очередное вхождение образца в цепочку.


Kmp pict2.png

Псевдокод[править]

int[] kmp(string P, string T):
   int pl = P.length
   int tl = T.length
   int[] answer
   int[] p = prefixFunction(P + "#" + T)
   int count = 0
   for i = 0 .. tl - 1
      if p[pl + i + 1] == pl
         answer[count++] = i
   return answer

Время работы[править]

Префикс-функция от строки [math]S[/math] строится за [math]O(S) = O(P + T)[/math]. Проход цикла по строке [math]S[/math] содержит [math]O(T)[/math] итераций. Итого, время работы алгоритма оценивается как [math]O(P + T)[/math].

Оценка по памяти[править]

Предложенная реализация имеет оценку по памяти [math]O(P+T)[/math]. Оценки [math]O(P)[/math] можно добиться за счет отказа от запоминания значений префикс-функции для позиций в [math]S[/math], меньших [math]|P| + 1[/math] (то есть до начала цепочки [math]T[/math]). Это возможно, так как значение префикс-функции не может превысить длину образца, благодаря разделительному символу [math]\#[/math].

Замечание[править]

Вместо префикс-функции в алгоритме Кнута-Морриса-Пратта можно использовать Z-функцию. Оценки времени работы и памяти при этом не изменятся.

См. также[править]

Источники информации[править]