Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Описание алгоритма)
(Описание алгоритма)
Строка 4: Строка 4:
 
Дана цепочка <tex>T</tex> и образец <tex>P</tex>. Требуется найти все позиции, начиная с которых <tex>P</tex> входит в <tex>T</tex>.
 
Дана цепочка <tex>T</tex> и образец <tex>P</tex>. Требуется найти все позиции, начиная с которых <tex>P</tex> входит в <tex>T</tex>.
 
<br>
 
<br>
Построим строку <tex>S = P\#T</tex>, где <tex>\#</tex> — любой символ, не входящий в алфавит <tex>P</tex> и <tex>T</tex>. Посчитаем на ней [[Префикс-функция|префикс-функцию]] <tex>\pi()</tex>. Благодаря разделительному символу <tex>\#</tex>, выполняется <tex>\forall i: \pi(i) \le |P|</tex>. Заметим, что по определению [[Префикс-функция|префикс-функции]] при <tex>i > |P|</tex> и <tex>\pi(i) = |P|</tex> подстроки длины <tex>P</tex>, начинающиеся с позиций <tex>0</tex> и <tex>i - |P| + 1</tex>, совпадают. Соберем все такие позиции <tex>i - |P| + 1</tex> строки <tex>S</tex>, вычтем из каждой позиции <tex>|P| + 1</tex>, это и будет ответ.
+
Построим строку <tex>S = P\#T</tex>, где <tex>\#</tex> — любой символ, не входящий в алфавит <tex>P</tex> и <tex>T</tex>. Посчитаем на ней [[Префикс-функция|префикс-функцию]] <tex>\pi()</tex>. Благодаря разделительному символу <tex>\#</tex>, выполняется <tex>\forall i: \pi(i) \le |P|</tex>. Заметим, что по определению [[Префикс-функция|префикс-функции]] при <tex>i > |P|</tex> и <tex>\pi(i) = |P|</tex> подстроки длины <tex>P</tex>, начинающиеся с позиций <tex>0</tex> и <tex>i - |P| + 1</tex>, совпадают. Соберем все такие позиции <tex>i - |P| + 1</tex> строки <tex>S</tex>, вычтем из каждой позиции <tex>|P| + 1</tex>, это и будет ответ. Другими словами, если в какой-то позиции <tex>i, \pi(i)=|P|</tex>, то в этой позиции начинается очередное вхождение образца в цепочку.
 
<br>
 
<br>
 
[[Файл:kmp_pict2.png|640px]]
 
[[Файл:kmp_pict2.png|640px]]

Версия 18:55, 30 мая 2014

Алгоритм Кнута — Морриса — Пратта (англ. Knuth–Morris–Pratt algorithm) — алгоритм поиска подстроки в строке.

Описание алгоритма

Дана цепочка [math]T[/math] и образец [math]P[/math]. Требуется найти все позиции, начиная с которых [math]P[/math] входит в [math]T[/math].
Построим строку [math]S = P\#T[/math], где [math]\#[/math] — любой символ, не входящий в алфавит [math]P[/math] и [math]T[/math]. Посчитаем на ней префикс-функцию [math]\pi()[/math]. Благодаря разделительному символу [math]\#[/math], выполняется [math]\forall i: \pi(i) \le |P|[/math]. Заметим, что по определению префикс-функции при [math]i \gt |P|[/math] и [math]\pi(i) = |P|[/math] подстроки длины [math]P[/math], начинающиеся с позиций [math]0[/math] и [math]i - |P| + 1[/math], совпадают. Соберем все такие позиции [math]i - |P| + 1[/math] строки [math]S[/math], вычтем из каждой позиции [math]|P| + 1[/math], это и будет ответ. Другими словами, если в какой-то позиции [math]i, \pi(i)=|P|[/math], то в этой позиции начинается очередное вхождение образца в цепочку.
Kmp pict2.png

Псевдокод

Пусть [math]p = |P|[/math], [math]t = |T|[/math].

count = 0
for (i = 0 .. (t - 1))
   if ([math]\pi[/math](p + i + 1) == p)
      answer[count++] = i + 1 - p

Время работы

Префикс-функция от строки [math]S[/math] строится за [math]O(S) = O(P + T)[/math]. Проход цикла по строке [math]S[/math] содержит [math]O(T)[/math] итераций. Итого, время работы алгоритма оценивается как [math]O(P + T)[/math].

Оценка по памяти

Предложенная реализация имеет оценку по памяти [math]O(P+T)[/math]. Оценки [math]O(T)[/math] можно добиться за счет незапоминания значений [math]\pi()[/math] для позиций в [math]S[/math], меньших [math]p + 1[/math] (т.е. до начала цепочки [math]T[/math]).

Источники