Алгоритм Кока-Янгера-Касами, модификация для произвольной грамматики

Пусть дана контекстно-свободная грамматика грамматика [math]\Gamma[/math] и слово [math]w \in \Sigma^{*}[/math]. Требуется выяснить, выводится ли это слово в данной грамматике.

Базовая версия данного алгоритма работает только для грамматик в нормальной форме Хомского. Модифицируем алгоритм для работы на произвольных контекстно-свободных грамматиках.

Алгоритм для произвольной грамматики

Обозначим [math]M = \max_{A \rightarrow \alpha}\left|\alpha\right|[/math] — максимальную длину правой части правила.

Введём вспомогательную динамику: [math]h_{A \rightarrow \alpha, i, j, k} = \left[\alpha\left[1..k\right] \Rightarrow^* w\left[i..j\right]\right] \quad \left(\forall A \rightarrow \alpha \in \Gamma\right)[/math], где [math]k \le M[/math] — можно ли из префикса длины [math]k[/math] правой части данного правила вывести [math]w\left[i..j\right][/math]. Также введём динамику [math]a_{A,i,j} = \left[A \Rightarrow^{*} w[i..j]\right][/math], аналогично базовой версии алгоритма.

• База динамики: [math]a_{A, i, i} = \left[ A \rightarrow w[i] \in P \right][/math] — вывод терминалов, [math]\forall i \:\: a_{A, i, i-1} = \left[ A \rightarrow \varepsilon \right][/math] — [math]\varepsilon[/math]-вывод, [math]\forall i,A \rightarrow \alpha \:\: h_{A \rightarrow \alpha, i, i-1, 0} = true[/math] — [math]\varepsilon[/math]-вывод для [math]\varepsilon[/math]-префиксов.

• Переход:

• Завершение: