Просмотр исходного текста страницы Алгоритм Краскала

<b>Алгоритм Краскала</b> (англ. ''Kruskal's algorithm'') — алгоритм поиска [[Лемма о безопасном ребре#Необходимые определения | минимального остовного дерева]] (англ. ''minimum spanning tree'', ''MST'') во взвешенном [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы | неориентированном связном графе]].

==Идея==
Будем последовательно строить подграф <tex>F</tex> графа <tex>G</tex> ("растущий лес"), пытаясь на каждом шаге достроить <tex>F</tex> до некоторого MST. Начнем с того, что включим в <tex>F</tex> все вершины графа <tex>G</tex>. Теперь будем обходить множество <tex>E(G)</tex> в порядке неубывания весов ребер. Если очередное ребро <tex>e</tex> соединяет вершины одной компоненты связности <tex>F</tex>, то добавление его в остов приведет к возникновению цикла в этой компоненте связности. В таком случае, очевидно, <tex>e</tex> не может быть включено в <tex>F</tex>. Иначе <tex>e</tex> соединяет разные компоненты связности <tex>F</tex>, тогда существует <tex> \langle S, T \rangle </tex> [[Лемма о безопасном ребре#Необходимые определения|разрез]] такой, что одна из компонент связности составляет одну его часть, а оставшаяся часть графа — вторую. Тогда <tex>e</tex> — минимальное ребро, пересекающее этот разрез. Значит, из [[Лемма о безопасном ребре#Лемма о безопасном ребре|леммы о безопасном ребре]] следует, что <tex>e</tex> является безопасным, поэтому добавим это ребро в <tex>F</tex>. На последнем шаге ребро соединит две оставшиеся компоненты связности, полученный подграф будет минимальным остовным деревом графа <tex>G</tex>.
Для проверки возможности добавления ребра используется  [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев) | система непересекающихся множеств]].

==Реализация==
 <font color=green>// <tex>G</tex> {{---}} исходный граф</font>
 <font color=green>// <tex>F</tex> {{---}} минимальный остов</font>
 '''function''' <tex>\mathtt{kruskalFindMST}():</tex>
    <tex> \mathtt{F} \leftarrow V(G)</tex>
    <tex>\mathtt{sort}(E(G))\</tex>
    '''for''' <tex>vu \in E(G)</tex>
       '''if''' <tex>v</tex> и <tex>u</tex> в разных компонентах связности <tex>F</tex>
          <tex> \mathtt{F}\ =\ \mathtt{F} \bigcup vu\</tex>
    '''return''' <tex> \mathtt{F} </tex>

==Задача о максимальном ребре минимального веса==
Легко показать, что максимальное ребро в MST минимально. Обратное в общем случае неверно. Но MST из-за сортировки строится за <tex>O(E \log E)</tex>. Однако из-за того, что необходимо минимизировать только максимальное ребро, а не сумму всех рёбер, можно предъявить алгоритм, решающий задачу за линейное время.

Описанный далее алгоритм ищет максимальное ребро минимального веса и одновременно строит остовное дерево. С помощью [[Поиск_k-ой_порядковой_статистики_за_линейное_время | алгоритма поиска k-ой порядковой статистики]] найдем ребро-медиану за <tex>O(E)</tex> и разделим множество ребер на два равных по мощности так, чтобы ребра в первом не превосходили по весу ребер во втором. Проверим образуют ли ребра из первого подмножества остов графа, запустив [[Использование_обхода_в_глубину_для_проверки_связности|обход в глубину]]. 
* Если да, то рекурсивно запустим алгоритм от него.
* В противном случае сконденсируем получившиеся несвязные компоненты в супервершины и рассмотрим граф с этими вершинами и ребрами из второго подмножества. 
На последнем шаге останутся две компоненты связности и одно ребро в первом подмножестве — это максимальное ребро минимального веса, добавим его в остов. Получившийся остов может не быть минимальным, но все ребра в нем не превосходят по весу ребра, которое мы нашли.

На каждом шаге ребер становится в два раза меньше, а все операции выполняются за время пропорциональное количеству ребер на текущем шаге, тогда время работы алгоритма <tex>O(E+\frac{E}{2}+\frac{E}{4}+...+1)=O(E)</tex>.

==Пример==
{| class = "wikitable"
| Рёбра ''(в порядке их просмотра)'' || ae || cd || ab || be || bc || ec || ed
|-
| Веса рёбер ||<tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || <tex>5</tex> || <tex>6</tex> || <tex>7</tex> 
|}

{| class = "wikitable"
! Изображение !! Описание
|-
|[[Файл:Mst_kruskal_1.png|200px]]
|style="padding-left: 1em" |Первое ребро, которое будет рассмотрено — '''ae''', так как его вес минимальный.<br/>
Добавим его к ответу, так как его концы соединяют вершины из разных множеств ('''a''' — красное и '''e''' — зелёное).<br/>
Объединим красное и зелёное множество в одно (красное), так как теперь они соединены ребром.
|-
|[[Файл:Mst_kruskal_2.png|200px]]
|style="padding-left: 1em" |Рассмотрим следующие ребро — '''cd'''.<br/>
Добавим его к ответу, так как его концы соединяют вершины из разных множеств ('''c''' — синее и '''d''' — голубое).<br/>
Объединим синее и голубое множество в одно (синее), так как теперь они соединены ребром.
|-
|[[Файл:Mst_kruskal_3.png|200px]]
|style="padding-left: 1em" |Дальше рассмотрим ребро '''ab'''.<br/>
Добавим его к ответу, так как его концы соединяют вершины из разных множеств ('''a''' — красное и '''b''' — розовое).<br/>
Объединим красное и розовое множество в одно (красное), так как теперь они соединены ребром.
|-
|[[Файл:Mst_kruskal_4.png|200px]]
|style="padding-left: 1em" |Рассмотрим следующие ребро — '''be'''.<br/>
Оно соединяет вершины из одного множества, поэтому перейдём к следующему ребру '''bc'''<br/>
Добавим его к ответу, так как его концы соединяют вершины из разных множеств ('''b''' — красное и '''c''' — синее).<br/>
Объединим красное и синее множество в одно (красное), так как теперь они соединены ребром.
|-
|[[Файл:Mst_kruskal_5.png|200px]]
|style="padding-left: 1em" |Рёбра '''ec''' и '''ed''' соединяют  вершины из одного множества,<br/>
поэтому после их просмотра они не будут добавлены в ответ<br/>
Всё рёбра были рассмотрены, поэтому алгоритм завершает работу.<br/>
Полученный граф — минимальное остовное дерево
|}

==Асимптотика==
Сортировка <tex>E</tex> займет <tex>O(E\log E)</tex>.<br>
Работа с СНМ займет <tex>O(E\alpha(V))</tex>, где <tex>\alpha</tex> — обратная функция Аккермана, которая не превосходит <tex>4</tex> во всех практических приложениях и которую можно принять за константу.<br>
Алгоритм работает за <tex>O(E(\log E+\alpha(V))) = O(E\log E)</tex>.

==См. также==
* [[Алгоритм Прима]]
* [[Алгоритм Борувки]]

==Источники информации==
* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн — Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%BA%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0 Википедия — Функция Аккермана]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%9A%D1%80%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D0%B0 Википедия — Алгоритм Крускала]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal's_algorithm Wikipedia — Kruskal's algorithm]
* [http://e-maxx.ru/algo/mst_kruskal MAXimal :: algo :: Минимальное остовное дерево. Алгоритм Крускала]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Остовные деревья ]]