Алгоритм Прима — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Идея)
Строка 3: Строка 3:
 
== Идея ==
 
== Идея ==
 
Данный алгоритм очень похож на [[алгоритм Дейкстры]]. Будем последовательно строить поддерево <tex>F</tex> ответа в графе <tex>G</tex>, поддерживая приоритетную очередь <tex>Q</tex> из вершин <tex>G \setminus F</tex>, имеющую ключом для вершины <tex>v</tex> <tex>\min\limits_{u \in F, uv \in EG}w(uv)</tex> (вес минимального ребра из вершин <tex>F</tex> в вершину <tex>v</tex>). Также для каждой вершины очереди будем хранить <tex>p(v)</tex> — вершину <tex>u</tex>, на которой достигается минимум в определении ключа. Дерево <tex>F</tex> поддерживается неявно, и равно <tex>\left\{\left(v,p(v)\right)|v \in G \setminus \{r\} \setminus Q\right\}</tex>, где <tex>r</tex> — корень <tex>F</tex>. Изначально <tex>F</tex> пусто, в очереди все вершины с ключами <tex>+\infty</tex>. Выберём произвольную вершину <tex>r</tex> и присвоим её ключу <tex>0</tex>. На каждом шаге будем извлекать минимальную вершину <tex>v</tex> из приоритетной очереди и релаксировать все ребра <tex>vu</tex>, такие что <tex>u \in Q</tex>, выполняя при этом <tex>\text{DECREASE-KEY}</tex> и обновление <tex>p(v)</tex>. Ребро <tex>\left(v,p(v)\right)</tex> при этом добавляется к ответу.
 
Данный алгоритм очень похож на [[алгоритм Дейкстры]]. Будем последовательно строить поддерево <tex>F</tex> ответа в графе <tex>G</tex>, поддерживая приоритетную очередь <tex>Q</tex> из вершин <tex>G \setminus F</tex>, имеющую ключом для вершины <tex>v</tex> <tex>\min\limits_{u \in F, uv \in EG}w(uv)</tex> (вес минимального ребра из вершин <tex>F</tex> в вершину <tex>v</tex>). Также для каждой вершины очереди будем хранить <tex>p(v)</tex> — вершину <tex>u</tex>, на которой достигается минимум в определении ключа. Дерево <tex>F</tex> поддерживается неявно, и равно <tex>\left\{\left(v,p(v)\right)|v \in G \setminus \{r\} \setminus Q\right\}</tex>, где <tex>r</tex> — корень <tex>F</tex>. Изначально <tex>F</tex> пусто, в очереди все вершины с ключами <tex>+\infty</tex>. Выберём произвольную вершину <tex>r</tex> и присвоим её ключу <tex>0</tex>. На каждом шаге будем извлекать минимальную вершину <tex>v</tex> из приоритетной очереди и релаксировать все ребра <tex>vu</tex>, такие что <tex>u \in Q</tex>, выполняя при этом <tex>\text{DECREASE-KEY}</tex> и обновление <tex>p(v)</tex>. Ребро <tex>\left(v,p(v)\right)</tex> при этом добавляется к ответу.
 +
 +
 +
Предположим у нас есть множества вершин и ребер ориентированного взвешенного графа. <tex> V </tex> - вершины. <tex> E </tex> - ребра.
 +
В <tex>F</tex> мы будем неявно хранить поддерево ответа. Для каждой вершины в ответе мы будем хранить вершину из которой мы в нее пришли.
 +
То есть <tex>(v,previos(v))</tex>
 +
Хранить <tex>V</tex> мы будем в приоритетной очереди. Ключом для вершины <tex>v</tex> будет вес минимального ребра из v в вершины уже содержащиеся в ответе.  То есть <tex>v</tex> <tex>\min\limits_{u \in F, uv \in E}w(uv)</tex>.
 +
Сначала выберем первую вершину искомого остового дерева. Ее мы можем выбрать рандомно. Положим ее в ответ и удалим из <tex>V</tex>.
 +
На каждой итерации мы будем выбирать из <tex>V</tex> вершину с минимальным ключом и добавлять ее к ответу, убирая ее из <tex>V</tex>.
 +
 
== Реализация ==
 
== Реализация ==
 
  '''<tex>\text{Prim}(G, w)</tex>'''
 
  '''<tex>\text{Prim}(G, w)</tex>'''

Версия 23:10, 17 декабря 2011

Алгоритм Прима — алгоритм поиска минимального остовного дерева (minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе.

Идея

Данный алгоритм очень похож на алгоритм Дейкстры. Будем последовательно строить поддерево [math]F[/math] ответа в графе [math]G[/math], поддерживая приоритетную очередь [math]Q[/math] из вершин [math]G \setminus F[/math], имеющую ключом для вершины [math]v[/math] [math]\min\limits_{u \in F, uv \in EG}w(uv)[/math] (вес минимального ребра из вершин [math]F[/math] в вершину [math]v[/math]). Также для каждой вершины очереди будем хранить [math]p(v)[/math] — вершину [math]u[/math], на которой достигается минимум в определении ключа. Дерево [math]F[/math] поддерживается неявно, и равно [math]\left\{\left(v,p(v)\right)|v \in G \setminus \{r\} \setminus Q\right\}[/math], где [math]r[/math] — корень [math]F[/math]. Изначально [math]F[/math] пусто, в очереди все вершины с ключами [math]+\infty[/math]. Выберём произвольную вершину [math]r[/math] и присвоим её ключу [math]0[/math]. На каждом шаге будем извлекать минимальную вершину [math]v[/math] из приоритетной очереди и релаксировать все ребра [math]vu[/math], такие что [math]u \in Q[/math], выполняя при этом [math]\text{DECREASE-KEY}[/math] и обновление [math]p(v)[/math]. Ребро [math]\left(v,p(v)\right)[/math] при этом добавляется к ответу.


Предположим у нас есть множества вершин и ребер ориентированного взвешенного графа. [math] V [/math] - вершины. [math] E [/math] - ребра. В [math]F[/math] мы будем неявно хранить поддерево ответа. Для каждой вершины в ответе мы будем хранить вершину из которой мы в нее пришли. То есть [math](v,previos(v))[/math] Хранить [math]V[/math] мы будем в приоритетной очереди. Ключом для вершины [math]v[/math] будет вес минимального ребра из v в вершины уже содержащиеся в ответе. То есть [math]v[/math] [math]\min\limits_{u \in F, uv \in E}w(uv)[/math]. Сначала выберем первую вершину искомого остового дерева. Ее мы можем выбрать рандомно. Положим ее в ответ и удалим из [math]V[/math]. На каждой итерации мы будем выбирать из [math]V[/math] вершину с минимальным ключом и добавлять ее к ответу, убирая ее из [math]V[/math].

Реализация

[math]\text{Prim}(G, w)[/math]
   [math]for[/math] [math]v \in V[G][/math]
       [math] key[v] \leftarrow \infty [/math]
       [math]p[v] \leftarrow \text{NIL}[/math]
   [math]r \leftarrow [/math] произвольная вершина в [math]V[G][/math]
   [math]key[r] \leftarrow 0 [/math]
   [math]Q \leftarrow V[G] [/math]
   [math]while[/math] [math] Q \neq \emptyset [/math]
       [math]v \leftarrow \text{extract-min}(Q) [/math]
       [math]for[/math] [math] u \in Adj[v] [/math]
           [math]if[/math] [math]u \in Q[/math] и [math]key[u] \gt  w(v, u) [/math]
               [math] p[u] \leftarrow v [/math]
               [math]key[u] \leftarrow w(v, u)[/math]
               [math]\text{decrease-key}(Q, u, key[u]) [/math]

Ребра дерева восстанавливаются из его неявного вида после выполнения алгоритма.


Корректность

По поддерживаемым инвариантам после извлечения вершины [math]v[/math] ([math]v \neq r[/math]) из [math]Q[/math] ребро [math]\left(v,p(v)\right)[/math] является ребром минимального веса, пересекающим разрез [math]\left(F,Q\right)[/math]. Значит, по лемме о безопасном ребре, оно безопасно. Алгоритм построения MST, добавляющий безопасные ребра, причём делающий это ровно [math]|V|-1[/math] раз, корректен.

Оценка производительности

Производительность алгоритма Прима зависит от выбранной реализации приоритетной очереди, как и в алгоритме Дейкстры. Извлечение минимума выполняется [math]V[/math] раз, релаксация — [math]O(E)[/math] раз.

Структура данных для приоритетной очереди Асимптотика времени работы
Наивная реализация [math]O(V^2+E)[/math]
Двоичная куча [math]O(E\log{V})[/math]
Куча Фибоначчи [math]O(V\log{V}+E)[/math]

Пример работы алгоритма

Граф "звезда" с расставленными весами ребер

Таблица соответствует работе алгоритма на графе с картинки.

№ шага key[] p[]
1 2 3 4 5
1) [math]\infty [/math] [math]\infty [/math] [math]\infty [/math] [math]\infty [/math] [math]\infty [/math] [math]-[/math]
2) 0 [math]\infty [/math] [math]\infty [/math] [math]\infty [/math] [math]\infty [/math] 1
3) 0 [math]\infty [/math] 7 14 [math]\infty [/math] 1 3
4) 0 [math]\infty [/math] 7 14 71 4 1 3
5) 0 2 7 14 71 2 4 1 3
6) 0 2 7 14 71 5 2 4 1 3

См. также

Литература

  • Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — с.653 — 656.— ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)