Редактирование: Алгоритм Тарьяна поиска LCA за О(1) в оффлайне

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
#перенаправление [[Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(1) в оффлайн]]
+
Алгоритм Тарьяна позволяет находить наименьшего общего предка двух вершин в дереве, если все запросы известны заранее (offline).
 +
Каждый запрос к дереву {{---}} это </tex>2</tex> вершины <tex>v</tex>,<tex>u</tex> для которых нужно найти такую вершину <tex>k</tex>, что <tex>k</tex>-предок вершин <tex>v</tex> и <tex>u</tex>, и <tex>k</tex> имеет максимальную глубину из всех таких вершин.
 +
Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из n вершин и m запросов за время <tex>O (n + m)</tex>, т.е при достаточно большом m, за <tex>O (1)</tex> на запрос.
 +
== Алгоритм ==
 +
Подвесим наше дерево за любую вершину, и запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из её.
 +
Ответ на каждый запрос мы найдём в течение поиска в глубину. Ответ для вершин <tex>v</tex>, <tex>u</tex> находится, когда мы уже посетили вершину <tex>u</tex>, а так же посетили всех сыновей вершины <tex>v</tex>, и собираемся выйти из неё.
 +
 
 +
Зафиксируем момент: мы собираемся выйти из вершины <tex>v</tex> (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары <tex>v</tex>, <tex>u</tex>.F
 +
Тогда заметим, что ответ {{---}} это либо вершина <tex>v</tex>, либо какой-то её предок. Значит, нам нужно найти предка вершины <tex>v</tex>, который является предком вершины <tex>u</tex> с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном <tex>v</tex> каждый из предков вершины <tex>v</tex> порождает некоторый класс вершин <tex>u</tex>, для которых он является ответом, в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка.
 +
 
 +
На рисунке разные цвета {{---}} разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в <tex>dfs</tex>.
 +
 
 +
Классы этих вершин не пересекаются, а значит мы их можем эффективно обрабатывать с помощью [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|dsu]].
 +
 
 +
Будем поддерживать массив <tex>ancestor[v]</tex> {{---}} представитель множества в котором содержится вершина <tex>v</tex>.
 +
Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества.
 +
Когда мы приходим в новую вершину <tex>v</tex> мы должны добавить её в новый класс (<tex>ancestor[v] = v</tex>), а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объединить это поддерево с нашим классом (операция <tex>union</tex>), и не забыть установить представителя как вершину <tex>v</tex> (в зависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина).
 +
 
 +
После того как мы обработали всех детей вершины <tex>v</tex>, мы можем ответить на все запросы вида (<tex>v</tex>,<tex>u</tex>) где <tex>u</tex> {{---}} уже посещённая вершина.
 +
Нетрудно заметить что ответ для <tex>lca(v, u) = ancestor[find(u)]</tex>.Так же можно понять что для каждого запроса это условие (что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.
 +
 
 +
Предположим, что нашли предка, который не является наименьшим, тогда это нас моментально приводит к противоречию, потому что запросмы  должны были рассмотреть ранее {{---}} на минимальном предке.
 +
Если он не минимальный, значит, есть на какой-то большей глубине, то есть такая вершина, которая была посещена раньше и для которой условия на <tex>u</tex> и <tex>v</tex< выполнялись, значит, тогда должна была найтись эта вершина в качестве <tex>LCA</tex>.
 +
 
 +
[[file:mytree.png|500px|разные цвета {{---}} разные классы, а белые вершины ещё не просмотренные в dfs]]
 +
 
 +
=== Реализация ===
 +
 
 +
bool visited[n]; 
 +
vector <'''int'''> query[n];
 +
 +
'''int''' dsu_get (v : '''int''')
 +
    '''if''' (v == dsu[v])
 +
        '''return''' v
 +
    '''else'''
 +
        '''return''' dsu[v] = dsu_get (dsu[v]);
 +
 +
 +
function unite (a : '''int''', b : '''int''', new_ancestor : '''int''' )
 +
        a = dsu_get (a);
 +
        b = dsu_get (b);
 +
        dsu[a] = b;
 +
        ancestor[b] = new_ancestor;
 +
     
 +
 
 +
function dfs(v : '''int''')
 +
    visited[v] = '''true''';                     
 +
    '''for''' (u таких, что (v, u) — ребро в G) 
 +
        '''if''' (not visited[u])                 
 +
            dfs(u);
 +
            union(v, u, v);
 +
    '''for''' (i = 0; i < query[v].size; i++)
 +
        '''if''' (visited[query[v][i]])
 +
            cout << "LCA " << v << " " << u << " = " << ancestor[dsu_get(q[v][i])];
 +
 +
   
 +
dfs(1); // можно запускать от любой вершины
 +
 +
 +
=== Оценка сложности ===
 +
Она состоит из нескольких оценок.
 +
 
 +
Во-первых, обход в глубину работает <tex>O (n)</tex>.
 +
 
 +
Во-вторых, операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных <tex>n</tex> затрачивают <tex>O (n)</tex> операций.
 +
 
 +
Каждый запрос <tex>(u, v)</tex> будет рассмотрен дважды {{---}} при посещение вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, но обработан лишь один раз, поэтому можно считать, что все запросы обработаются суммарно за <tex>O (m)</tex>.
 +
 
 +
В-третьих, для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных <tex>n</tex> выполняется за <tex>O (1)</tex>. Итоговая асимптотика получается <tex>O (n + m)</tex>, но при достаточно больших <tex>m</tex> ответ за <tex>O (1)</tex> на один запрос.

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)