Алгоритм Тарьяна поиска LCA за О(1) в оффлайне — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 8: Строка 8:
 
Тогда заметим, что ответ {{---}} это либо вершина <tex>v</tex>, либо какой-то её предок. Значит, нам нужно найти предка вершины <tex>v</tex>, который является предком вершины <tex>u</tex> с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном <tex>v</tex> каждый из предков вершины <tex>v</tex> порождает некоторый класс вершин <tex>u</tex>, для которых он является ответом, в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка.
 
Тогда заметим, что ответ {{---}} это либо вершина <tex>v</tex>, либо какой-то её предок. Значит, нам нужно найти предка вершины <tex>v</tex>, который является предком вершины <tex>u</tex> с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном <tex>v</tex> каждый из предков вершины <tex>v</tex> порождает некоторый класс вершин <tex>u</tex>, для которых он является ответом, в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка.
  
На рисунке разные цвета {{---}} разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в <tex>dfs</tex>.
+
На рисунке разные цвета {{---}} разные классы, а белые вершины ещё не просмотренные в <tex>dfs</tex>.
  
 
Классы этих вершин не пересекаются, а значит мы их можем эффективно обрабатывать с помощью [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|системы непересекающихся множеств]], которую будем храниться в массиве <tex>dsu</tex>.
 
Классы этих вершин не пересекаются, а значит мы их можем эффективно обрабатывать с помощью [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|системы непересекающихся множеств]], которую будем храниться в массиве <tex>dsu</tex>.
Строка 30: Строка 30:
 
   
 
   
 
  '''int''' dsuGet(v : '''int'''):
 
  '''int''' dsuGet(v : '''int'''):
     '''if''' (v == dsu[v])
+
     '''if''' v == dsu[v]
 
         '''return''' v
 
         '''return''' v
 
     '''else'''
 
     '''else'''
Строка 36: Строка 36:
 
   
 
   
 
   
 
   
  '''function''' union(a : '''int''', b : '''int''', newAncestor : '''int''' ):
+
  '''function''' union(a : '''int''', b : '''int''', newAncestor : '''int'''):
 
         a = dsuGet(a)
 
         a = dsuGet(a)
 
         b = dsuGet(b)
 
         b = dsuGet(b)
Строка 51: Строка 51:
 
     '''for''' i = 0 '''to''' query[v].size - 1
 
     '''for''' i = 0 '''to''' query[v].size - 1
 
         '''if''' visited[query[v][i]]
 
         '''if''' visited[query[v][i]]
             запомнить, что ответ для запроса (v,u) = ancestor[dsu_get(q[v][i])]
+
             запомнить, что ответ для запроса (v,u) = ancestor[dsuGet[q[v][i]]]
  
 
== Оценка сложности ==
 
== Оценка сложности ==

Версия 16:40, 7 июня 2014

Дано дерево и набор запросов: пары вершин [math]\langle v, u \rangle [/math], и для каждой пары нужно найти наименьшего общего предка. Считаем, что все запросы известны заранее, поэтому будем решать задачу оффлайн. Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из [math]n[/math] вершин и [math]m[/math] запросов за время [math]O (n + m)[/math], то есть при достаточно большом [math]m[/math], за [math]O (1)[/math] на запрос.

Алгоритм

Подвесим наше дерево за любую вершину, и запустим обход в глубину из неё. Ответ на каждый запрос мы найдём в течение поиска в глубину. Ответ для вершин [math]v[/math] и [math]u[/math] находится, когда мы уже посетили вершину [math]u[/math], а так же посетили всех сыновей вершины [math]v[/math], и собираемся выйти из неё.

Зафиксируем момент: мы собираемся выйти из вершины [math]v[/math] (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары [math]v[/math], [math]u[/math]. Тогда заметим, что ответ — это либо вершина [math]v[/math], либо какой-то её предок. Значит, нам нужно найти предка вершины [math]v[/math], который является предком вершины [math]u[/math] с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном [math]v[/math] каждый из предков вершины [math]v[/math] порождает некоторый класс вершин [math]u[/math], для которых он является ответом, в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка.

На рисунке разные цвета — разные классы, а белые вершины ещё не просмотренные в [math]dfs[/math].

Классы этих вершин не пересекаются, а значит мы их можем эффективно обрабатывать с помощью системы непересекающихся множеств, которую будем храниться в массиве [math]dsu[/math].

Будем поддерживать массив [math]ancestor[v][/math] — представитель множества в котором содержится вершина [math]v[/math]. Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества. Когда мы приходим в новую вершину [math]v[/math] мы должны добавить её в новый класс ([math]ancestor[v] = v[/math]), а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объединить это поддерево с нашим классом (операция [math]union[/math]), и не забыть установить представителя как вершину [math]v[/math] (в зависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина).

После того как мы обработали всех детей вершины [math]v[/math], мы можем ответить на все запросы вида [math]\langle v, u \rangle [/math] где [math]u[/math] — уже посещённая вершина. Нетрудно заметить что ответ для [math]lca\lt tex\gt \langle v, u \rangle [/math] = ancestor[find(u)]</tex>.Так же можно понять что для каждого запроса это условие (что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.

Предположим, что нашли предка, который не является наименьшим, тогда это нас моментально приводит к противоречию, потому что запросмы должны были рассмотреть ранее — на минимальном предке. Если он не минимальный, значит, есть на какой-то большей глубине, то есть такая вершина, которая была посещена раньше и для которой условия на [math]u[/math] и [math]v[/math] выполнялись, значит, тогда должна была найтись эта вершина в качестве [math]LCA[/math].

разные цвета — разные классы, а белые вершины ещё не просмотренные в dfs

Реализация

bool visited[n]  
vector<int> query[n]

int dsuGet(v : int):
    if v == dsu[v]
        return v
    else
        return dsu[v] = dsuGet(dsu[v])


function union(a : int, b : int, newAncestor : int):
       a = dsuGet(a)
       b = dsuGet(b)
       dsu[a] = b
       ancestor[b] = newAncestor
      
// можно запустить от любой вершины дерева.  
function dfs(v : int):
    visited[v] = true                     
    foreach u : (v, u) in G
        if not visited[u]                  
            dfs(u)
            union(v, u, v)
    for i = 0 to query[v].size - 1
        if visited[query[v][i]]
            запомнить, что ответ для запроса (v,u) = ancestor[dsuGet[q[v][i]]]

Оценка сложности

Она состоит из нескольких оценок.

Во-первых, обход в глубину работает [math]O (n)[/math].

Во-вторых, операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных [math]n[/math] затрачивают [math]O (n)[/math] операций.

Каждый запрос [math]\langle v, u \rangle [/math] будет рассмотрен дважды — при посещение вершины [math]u[/math] и [math]v[/math], но обработан лишь один раз, поэтому можно считать, что все запросы обработаются суммарно за [math]O (m)[/math].

В-третьих, для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных [math]n[/math] выполняется за [math]O (1)[/math]. Итоговая асимптотика получается [math]O (n + m)[/math], но при достаточно больших [math]m[/math] ответ за [math]O (1)[/math] на один запрос.

Источники информации