Алгоритм Тарьяна поиска LCA за О(1) в оффлайне — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 72 промежуточные версии 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
Алгоритм Тарьяна позволяет находить наименьшего общего предка двух вершин в дереве, если все запросы известны заранее (offline).
+
#перенаправление [[Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(1) в оффлайн]]
Каждый запрос к дереву - это 2 вершины <tex>v</tex>,<tex>u</tex> для которых нужно найти такую вершину <tex>k</tex>, что <tex>k</tex>-предок вершин <tex>v</tex> и <tex>u</tex>, и <tex>k</tex> имеет максимальную глубину из всех таких вершин.
 
Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из n вершин и m запросов за время <tex>О (n + m)</tex>, т.е при достаточно большом m, за <tex>О(1)</tex> на запрос.
 
== Алгоритм ==
 
Запустим обход в глубину из корня в течении которого мы найдём все ответы на наши запросы.Ответ для вершин v,u находится, когда мы уже посетели вершины u, а в v обработали всех сыновей и собираемся выйти из неё.
 
 
 
Зафиксируем момент, мы собираемся выйти из вершины v (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары v,u.
 
Тогда заметим что ответ - это либо вершина v, либо какой-то её предок.Значит нам нужно найти предок вершины v, который является предком вершины u с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном v каждый из предков вершины v порождает некоторый класс вершин u, для которых он является ответом (в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка).
 
На рисунке разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs.
 
Классы этих вершин - не пересекаются,а значит мы их можем эффективно обрабаывать с помощью dsu.
 
Будем поддерживать массив ancestor[v] - представитель множества в котором содержится вершина v.
 
Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества.
 
Когда мы приходим в новую вершину v мы должны добавить её в новый класс (ancestor[v] = v),а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объеденить это поддерево с нашим классом (операция union), и не забыть установить представителя как вершину v (взависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина).
 
После того как мы обработали всех детей вершины v,мы можем ответить на все запросы вида (v,u) где u-уже посещённая вершина.
 
Нетрудно заметить что ответ для lca(v,u) = ancestor(find(u)).Так же можно понять что для каждого запроса это условие(что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.
 
 
 
 
 
[[file:Afca13d4.png|500px|разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs]]
 
 
 
=== Реализация ===
 
 
 
vector<bool> visited; 
 
vector<int> query[n];
 
 
int dsu_get (int v) {
 
        return v == dsu[v] ? v : dsu[v] = dsu_get (dsu[v]);
 
}           
 
 
unite (int a, int b,int new_ancestor) {
 
  a = dsu_get (a);
 
        b = dsu_get (b);
 
        dsu[a] = b;
 
        ancestor[b] = new_ancestor;
 
}     
 
 
 
dfs(int v) {
 
    visited[v] = true;                     
 
    for (u таких, что (v, u) — ребро в G) 
 
        if (!visited[u])                 
 
            dfs(u);
 
            union(v,u,v);
 
    for (i = 0; i < query[v].size(); i++)
 
        if (visited[query[v][i]])
 
            cout << "LCA " << v << " " << u << " = " << ancestor[dsu_get(q[v][i])];
 
}
 
 
 
int main() {
 
    dfs(0);
 
    return 0;
 
}
 
 
=== Оценка сложности ===
 
Она состоит из нескольких оценок.
 
Во-первых dfs работает О (n).
 
Во-вторых, операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных n затрачивают <tex>О (n)</tex> операций.
 
В-третьих, для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных n выполняется за <tex>О (1)</tex>. Итоговая асимптотика получается <tex>\mathrm{O (n + m)}</tex>, но при достаточно больших m ответ за <tex>О (1)</tex> на один запрос.
 

Текущая версия на 22:33, 31 января 2019