|
|
| (не показаны 93 промежуточные версии 3 участников) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | Алгоритм Тарьяна позволяет находить наименьшего общего предка двух вершин в дереве, если все запросы известны заранее(offline). | + | #перенаправление [[Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(1) в оффлайн]] |
| − | Каждый запрос к дереву - это 2 вершины v,u для которых нужно найти такую вершину k, что k-предок вершин v и u, и k имеет максимальную глубину из всех таких вершин.
| |
| − | Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из n вершин и m запросов за время О(n + m), т.е при достаточно большом m, за О(1) на запрос.
| |
| − | == Алгоритм ==
| |
| − | Запустим обход в глубину из корня в течении которого мы найдём все ответы на наши запросы.Ответ для вершин v,u находится, когда мы уже посетели вершины u, а в v обработали всех сыновей и собираемся выйти из неё.
| |
| − | Зафиксируем момент, мы собираемся выйти из вершины v(обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары v,u.
| |
| − | Тогда заметим что ответ - это либо вершина v, либо какой-то её предок.Значит нам нужно найти предок вершины v, который является предком вершины u с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном v каждый из предков вершины v порождает некоторый класс вершин u, для которых он является ответом(в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка).
| |
| − | На рисунке разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs.
| |
| − | Классы этих вершин - не пересекаются,а значит мы их можем эффективно обрабаывать с помощью dsu.
| |
| − | Будем поддерживать массив ancestor[v] - представитель множества в котором содержится вершина v.
| |
| − | Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества.
| |
| − | Когда мы приходим в новую вершину v мы должны добавить её в новый класс(ancestor[v] = v),а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объеденить это поддерево с нашим классом(операция union), и не забыть установить представителя как вершину v(взависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина).
| |
| − | После того как мы обработали всех детей вершины v,мы можем ответить на все запросы вида (v,u) где u-уже посещённая вершина.
| |
| − | Нетрудно заметить что ответ для lca(v,u) = ancestor(find(u)).Так же можно понять что для каждого запроса это условие(что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.
| |
| − | | |
| − | == Псевдокод ==
| |
| − | <code>Для всех</code> <tex>u \in V</tex>
| |
| − | : <tex>d[u] \gets \infty</tex>
| |
| − | <tex>d[s] \gets 0\</tex><br>
| |
| − | <tex> U \gets \emptyset</tex><br>
| |
| − | <code>Пока</code> <tex>\exists v \notin U</tex>
| |
| − | : <code>Пусть</code> <tex>v \notin U : d[v]</tex> <code> минимальный </code>
| |
| − | : <code>Для всех</code> <tex>u \notin U</tex> <code>таких, что</code> <tex>vu \in E</tex>
| |
| − | :: <code>если</code> <tex> d[u] > d[v] + w(vu)</tex> <code>то</code>
| |
| − | ::: <tex>d[u] \gets d[v] + w (vu)</tex>
| |
| − | : <tex>U \gets v </tex>
| |
