Алгоритм Тарьяна поиска LCA за О(1) в оффлайне — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
Алгоритм Тарьяна позволяет находить наименьшего общего предка двух вершин в дереве, если все запросы известны заранее(offline).
+
Алгоритм Тарьяна позволяет находить наименьшего общего предка двух вершин в дереве, если все запросы известны заранее (offline).
 
Каждый запрос к дереву - это 2 вершины <tex>v</tex>,<tex>u</tex> для которых нужно найти такую вершину <tex>k</tex>, что <tex>k</tex>-предок вершин <tex>v</tex> и <tex>u</tex>, и <tex>k</tex> имеет максимальную глубину из всех таких вершин.
 
Каждый запрос к дереву - это 2 вершины <tex>v</tex>,<tex>u</tex> для которых нужно найти такую вершину <tex>k</tex>, что <tex>k</tex>-предок вершин <tex>v</tex> и <tex>u</tex>, и <tex>k</tex> имеет максимальную глубину из всех таких вершин.
Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из n вершин и m запросов за время <tex>О(n + m)</tex>, т.е при достаточно большом m, за <tex>О(1)</tex> на запрос.
+
Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из n вершин и m запросов за время <tex>О (n + m)</tex>, т.е при достаточно большом m, за <tex>О(1)</tex> на запрос.
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
 
Запустим обход в глубину из корня в течении которого мы найдём все ответы на наши запросы.Ответ для вершин v,u находится, когда мы уже посетели вершины u, а в v обработали всех сыновей и собираемся выйти из неё.
 
Запустим обход в глубину из корня в течении которого мы найдём все ответы на наши запросы.Ответ для вершин v,u находится, когда мы уже посетели вершины u, а в v обработали всех сыновей и собираемся выйти из неё.
Зафиксируем момент, мы собираемся выйти из вершины v(обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары v,u.
+
 
Тогда заметим что ответ - это либо вершина v, либо какой-то её предок.Значит нам нужно найти предок вершины v, который является предком вершины u с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном v каждый из предков вершины v порождает некоторый класс вершин u, для которых он является ответом(в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка).
+
Зафиксируем момент, мы собираемся выйти из вершины v (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары v,u.
 +
Тогда заметим что ответ - это либо вершина v, либо какой-то её предок.Значит нам нужно найти предок вершины v, который является предком вершины u с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном v каждый из предков вершины v порождает некоторый класс вершин u, для которых он является ответом (в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка).
 
На рисунке разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs.
 
На рисунке разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs.
 
Классы этих вершин - не пересекаются,а значит мы их можем эффективно обрабаывать с помощью dsu.
 
Классы этих вершин - не пересекаются,а значит мы их можем эффективно обрабаывать с помощью dsu.
 
Будем поддерживать массив ancestor[v] - представитель множества в котором содержится вершина v.
 
Будем поддерживать массив ancestor[v] - представитель множества в котором содержится вершина v.
 
Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества.
 
Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества.
Когда мы приходим в новую вершину v мы должны добавить её в новый класс(ancestor[v] = v),а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объеденить это поддерево с нашим классом(операция union), и не забыть установить представителя как вершину v(взависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина).
+
Когда мы приходим в новую вершину v мы должны добавить её в новый класс (ancestor[v] = v),а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объеденить это поддерево с нашим классом (операция union), и не забыть установить представителя как вершину v (взависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина).
 
После того как мы обработали всех детей вершины v,мы можем ответить на все запросы вида (v,u) где u-уже посещённая вершина.
 
После того как мы обработали всех детей вершины v,мы можем ответить на все запросы вида (v,u) где u-уже посещённая вершина.
 
Нетрудно заметить что ответ для lca(v,u) = ancestor(find(u)).Так же можно понять что для каждого запроса это условие(что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.
 
Нетрудно заметить что ответ для lca(v,u) = ancestor(find(u)).Так же можно понять что для каждого запроса это условие(что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.
Строка 51: Строка 52:
 
=== Оценка сложности ===
 
=== Оценка сложности ===
 
Она состоит из нескольких оценок.
 
Она состоит из нескольких оценок.
Во-первых dfs работает О(n).
+
Во-первых dfs работает О (n).
Во-вторых, операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных n затрачивают <tex>О(n)</tex> операций.  
+
Во-вторых, операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных n затрачивают <tex>О (n)</tex> операций.  
В-третьих, для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных n выполняется за <tex>О(1)</tex>. Итоговая асимптотика получается <tex>\mathrm{O(n + m)}</tex>, но при достаточно больших m ответ за <tex>О(1)</tex> на один запрос.
+
В-третьих, для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных n выполняется за <tex>О (1)</tex>. Итоговая асимптотика получается <tex>\mathrm{O (n + m)}</tex>, но при достаточно больших m ответ за <tex>О (1)</tex> на один запрос.

Версия 00:29, 6 июня 2014

Алгоритм Тарьяна позволяет находить наименьшего общего предка двух вершин в дереве, если все запросы известны заранее (offline). Каждый запрос к дереву - это 2 вершины [math]v[/math],[math]u[/math] для которых нужно найти такую вершину [math]k[/math], что [math]k[/math]-предок вершин [math]v[/math] и [math]u[/math], и [math]k[/math] имеет максимальную глубину из всех таких вершин. Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из n вершин и m запросов за время [math]О (n + m)[/math], т.е при достаточно большом m, за [math]О(1)[/math] на запрос.

Алгоритм

Запустим обход в глубину из корня в течении которого мы найдём все ответы на наши запросы.Ответ для вершин v,u находится, когда мы уже посетели вершины u, а в v обработали всех сыновей и собираемся выйти из неё.

Зафиксируем момент, мы собираемся выйти из вершины v (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары v,u. Тогда заметим что ответ - это либо вершина v, либо какой-то её предок.Значит нам нужно найти предок вершины v, который является предком вершины u с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном v каждый из предков вершины v порождает некоторый класс вершин u, для которых он является ответом (в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка). На рисунке разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs. Классы этих вершин - не пересекаются,а значит мы их можем эффективно обрабаывать с помощью dsu. Будем поддерживать массив ancestor[v] - представитель множества в котором содержится вершина v. Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества. Когда мы приходим в новую вершину v мы должны добавить её в новый класс (ancestor[v] = v),а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объеденить это поддерево с нашим классом (операция union), и не забыть установить представителя как вершину v (взависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина). После того как мы обработали всех детей вершины v,мы можем ответить на все запросы вида (v,u) где u-уже посещённая вершина. Нетрудно заметить что ответ для lca(v,u) = ancestor(find(u)).Так же можно понять что для каждого запроса это условие(что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.


разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs

Реализация

vector<bool> visited;   
vector<int> query[n]; 

int dsu_get (int v) {
       return v == dsu[v] ? v : dsu[v] = dsu_get (dsu[v]);
}            

unite (int a, int b,int new_ancestor) {
  	a = dsu_get (a);
       b = dsu_get (b);
       dsu[a] = b;
       ancestor[b] = new_ancestor;
}       
  
dfs(int v) {
    visited[v] = true;                      
    for (u таких, что (v, u) — ребро в G)   
        if (!visited[u])                  
            dfs(u);
            union(v,u,v);
    for (i = 0; i < query[v].size(); i++)
        if (visited[query[v][i]])
            cout << "LCA " << v << " " << u << " = " << ancestor[dsu_get(q[v][i])];
}
  
int main() {
    dfs(0);
    return 0;
}

Оценка сложности

Она состоит из нескольких оценок. Во-первых dfs работает О (n). Во-вторых, операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных n затрачивают [math]О (n)[/math] операций. В-третьих, для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных n выполняется за [math]О (1)[/math]. Итоговая асимптотика получается [math]\mathrm{O (n + m)}[/math], но при достаточно больших m ответ за [math]О (1)[/math] на один запрос.