Алгоритм Эрли, доказательство оценки O(n^2) для однозначной грамматики — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 4: Строка 4:
 
<tex>\forall\,j: 1 \le j \le n</tex> в списке <tex>I_j</tex> находится <tex>O(j)</tex> ситуаций.
 
<tex>\forall\,j: 1 \le j \le n</tex> в списке <tex>I_j</tex> находится <tex>O(j)</tex> ситуаций.
 
|proof=
 
|proof=
 +
Рассмотрим ситуацию <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex>. Так как количество правил, а так же размер их правых частей фиксированы, и <tex>0 \le i \le j</tex>, то всего в <tex>I_j</tex> находится <tex>O(j)</tex> ситуаций.
 
}}
 
}}
 
{{Лемма
 
{{Лемма

Версия 05:45, 6 ноября 2011

Лемма (1):
[math]\forall\,j: 1 \le j \le n[/math] в списке [math]I_j[/math] находится [math]O(j)[/math] ситуаций.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рассмотрим ситуацию [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i][/math]. Так как количество правил, а так же размер их правых частей фиксированы, и [math]0 \le i \le j[/math], то всего в [math]I_j[/math] находится [math]O(j)[/math] ситуаций.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (2):
Пусть [math]G = (N, \Sigma, P, S)[/math] — однозначная КС-грамматика и [math]a_1 \dots a_n[/math] — цепочка из [math]\Sigma^*[/math]. Тогда алгоритм Эрли пытается включить [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i][/math] в [math]I_j[/math] не более одного раза, если [math]\alpha \ne \varepsilon[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Ситуацию [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i][/math] можно включить в [math]I_j[/math] только на шагах [math](2)[/math], [math](4)[/math], или [math](5)[/math]. Если она включается на шаге [math](4)[/math], то последний символ цепочки [math]\alpha[/math] — терминал, а если на шагах [math](2)[/math] или [math](5)[/math], то — нетерминал. В первом случае результат очевиден. Во втором случае допустим, что [math][A \rightarrow \alpha'B \cdot \beta, i][/math] включается в [math]I_j[/math], когда рассматриваются две различные ситуации [math][B \rightarrow \gamma \cdot, k][/math] и [math][B \rightarrow \delta \cdot, l][/math]. Тогда ситуация [math][A \rightarrow \alpha' \cdot B\beta, i][/math] должна оказаться одновременно в [math]I_k[/math] и в [math]I_l[/math].

  1. Пусть [math]k \ne l[/math]. Тогда по теореме существуют такие [math]\theta_1, \theta_2, \theta_3[/math] и [math]\theta_4[/math], что [math]S \Rightarrow^* \theta_1 A \theta_2 \Rightarrow \theta_1 \alpha' B \beta \theta_2 \Rightarrow^* a_1 \dots a_n[/math] и [math]S \Rightarrow^* \theta_3 A \theta_4 \Rightarrow \theta_3 \alpha' B \beta \theta_4 \Rightarrow^* a_1 \dots a_n[/math]. Но в первом выводе [math]\theta_1 \alpha' \Rightarrow^* a_1 \dots a_k[/math], а во втором [math]\theta_1 \alpha' \Rightarrow^* a_1 \dots a_l[/math]. Тогда для цепочки [math]a_1 \dots a_n[/math] существуют два разных дерева вывода, в которых [math]a_{i+1} \dots a_j[/math] выводится из [math]\alpha' B[/math] двумя разными способами.
  2. Пусть [math]k = l[/math]. Тогда [math]\gamma \ne \delta[/math]. Тогда, так как [math][B \rightarrow \gamma \cdot, k] \in I_j[/math] и [math][B \rightarrow \delta \cdot, k] \in I_j[/math], то [math]\gamma \Rightarrow a_{k+1} \dots a_j[/math] и [math]\delta \Rightarrow a_{k+1} \dots a_j[/math], то есть [math]a_{k+1} \dots a_j[/math] выводится двумя разными способами.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Если входная грамматика однозначна, то время выполнения алгоритма Эрли для слова длины [math]n[/math] составляет [math]O(n^2)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Орагнизуем каждый список разбора [math]I_j[/math] таким образом, чтобы по любому символу [math]x \in \Sigma \cup N[/math], можно было за [math]O(1)[/math] получить список тех и только тех ситуаций, содержащихся в [math]I_j[/math], которые имеют вид [math][A \rightarrow \alpha \cdot x \beta, j][/math].

Покажем, что на каждую ситуацию алгоритм расходует фиксированное количество времени.

Список [math]I_0[/math] можно построить за фиксированное время.

Рассмотрим [math]I_j, \, j \ge 0[/math]. Рассмотрим шаги [math](4)[/math], [math](5)[/math] и [math](6)[/math].

  1. На шаге [math](4)[/math] исследуется [math]a_j[/math] и предыдущий список. Для каждой ситуации из [math]I_{j-1}[/math] с символом [math]a_j[/math], расположенным справа от точки, в [math]I_j[/math] включается некоторая ситуация. Так как список в [math]I_{j-1}[/math] можно найти за [math]O(1)[/math] по символу [math]a_j[/math], то на включение каждой ситуации в [math]I_j[/math] будет потрачено фиксированное время.
  2. Если применяется шаг [math](5)[/math], то в некотором списке [math]I_k[/math] для [math]k \le j[/math] надо просмотреть все ситуации, содержащие [math]"\cdot B"[/math] для некоторого конкретного [math]B[/math]. Для каждой такой ситуации в [math]I_j[/math] включается другая ситуация, и это время относится не к рассматриваемой ситуации, а к включаемой. Кроме того, так как по второй лемме для каждой ситуации предпринимается только одна попытка включить ее в список, то не нужно тратить время на проверку того, что включаемая ситуация уже есть в списке.
  3. Так как размер грамматики фиксирован, то , учитывая первую лемму, получаем, что шаг [math](6)[/math] выполняется за [math]O(j)[/math].
Таким образом, время работы алгоритма составляет [math]O(n^2)[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Литература

  • А. Ахо, Дж. Ульман. Теория синтакического анализа, перевода и компиляции. Том 1. Синтактический анализ.