Алгоритм вычисления символа Якоби

Материал из Викиконспекты
Версия от 18:06, 30 июня 2010; Zakharevich.Andrey (обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Эта статья находится в разработке!

Для вычисления символа Якоби [math]\left(\cfrac{a}{n}\right)[/math] эффективно использовать следующий алгоритм:

  1. Если [math]a\lt 0[/math], то применяя утверждения 2 и 5, получаем [math]\left(\cfrac{a}{n}\right)=\left(\cfrac{-a}{n}\right)\times(-1)^{\frac{n-1}{2}}[/math]. Вычисляем [math]\left(\cfrac{-a}{n}\right)[/math] и пропускаем последующие пункты.
  2. Если [math]a[/math] четно, то применяя утверждения 2 и 6, получаем [math]\left(\cfrac{a}{n}\right)=\left(\cfrac{a/2}{n}\right)\times(-1)^{\frac{n^2-1}{8}}[/math]. Вычисляем [math]\left(\cfrac{a/2}{n}\right)[/math] и пропускаем последующие пункты.
  3. Если [math]a=1[/math], то применяя утверждение 5 [math]\left(\cfrac{a}{n}\right)=1[/math], вычисление закончилось.
  4. Если [math]a\lt n[/math], то применяя теорему 2 получаем [math]\left(\cfrac{a}{n}\right)=(-1)^{\frac{a-1}{2}\frac{n-1}{2}}\left(\cfrac{n}{a}\right)[/math]. Вычисляем [math]\left(\cfrac{n}{a}\right)[/math] и пропускаем последующие пункты.
  5. [math]\left(\cfrac{a}{n}\right)=\left(\cfrac{a\mod n}{n}\right)[/math]. Вычисляем [math]\left(\cfrac{a\mod n}{n}\right)[/math]. Пирменяем алгоритм для каждого символа Якоби, который необходимо вычислить.