Редактирование: Алгоритм масштабирования потока

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
Пусть дана [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|сеть]] <tex> G </tex>, все рёбра которой имеют целочисленную [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|пропускную способность]]. Обозначим за <tex> U </tex> максимальную пропускную способность: <tex> U = \max\limits_{(u, v) \in E} c(u, v) </tex>.
+
Алгоритм масштабирования [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BF.D0.BE.D1.82.D0.BE.D0.BA.D0.B0|потока]] {{---}} алгоритм поиска максимального потока, основывающийся на предположении, что [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|пропускные способности]] всех ребер выражаются целыми числами.
  
Идея алгоритма заключается в нахождении путей с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BF.D0.BE.D1.82.D0.BE.D0.BA.D0.B0|поток]] по ним, а затем по всем остальным. Для этого воспользуемся масштабом <tex> \Delta </tex>. Изначально положим <tex> \Delta = 2^{\lfloor \log_2 U \rfloor} </tex>.
+
Пусть дана [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|сеть]] <tex> G </tex>, все ребра которой имеют целочисленную пропускную способность. Обозначим за <tex> U </tex> максимальную пропускную способность: <tex> U = \max\limits_{(u, v) \in E} c(u, v) </tex>.
 +
 
 +
Идея алгоритма заключается в нахождении путей с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать поток по ним, а затем по всем остальным. Для этого воспользуемся масштабом <tex> \Delta </tex>. Изначально положим <tex> \Delta = 2^{\lfloor \log_2 U \rfloor} </tex>.
  
 
На каждой итерации в [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь|дополняющей сети]] алгоритм находит [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь|дополняющие пути]] с пропускной способностью не меньшей <tex> \Delta </tex> и увеличивает поток вдоль них.
 
На каждой итерации в [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь|дополняющей сети]] алгоритм находит [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь|дополняющие пути]] с пропускной способностью не меньшей <tex> \Delta </tex> и увеличивает поток вдоль них.
Строка 11: Строка 13:
 
Количество необходимых увеличений путей, основанных на кратчайших путях, может быть много больше количества увеличений, основанных на путях с высокой пропускной способностью.
 
Количество необходимых увеличений путей, основанных на кратчайших путях, может быть много больше количества увеличений, основанных на путях с высокой пропускной способностью.
 
{|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center
 
{|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center
|[[Файл:Flow_scale_1.png|550px|thumb|center|Выбор дополняющих путей в порядке длины]]
+
|[[Файл: augmentations1.png|250px|thumb|center|Выбор дополняющих путей в порядке длины]]
|[[Файл:Flow_scale_2.png|550px|thumb|center|Выбор пути с высокой пропускной способностью в первую очередь]]
+
|[[Файл: augmentations2.png|250px|thumb|center|Выбор пути с высокой пропускной способностью в первую очередь]]
 
|}
 
|}
  
 
== Оценка времени работы ==
 
== Оценка времени работы ==
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Время работы алгоритма {{---}} <tex> O(E^2 \log U) </tex>.
 +
|proof=
 +
В ходе выполнения алгоритма масштаб <tex> \Delta </tex> принимает следующие значения: <tex> S = \{2^{\lfloor \log_2 U \rfloor}, \ldots, 2^k, \ldots, 2, 1, 0\} </tex>. Тогда <tex> |S| = O(\log U) </tex> {{---}} количество итераций алгоритма.
 +
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|about=
 
|about=
Строка 22: Строка 30:
 
Максимальный поток в сети <tex> G </tex> ограничен сверху значением <tex> |f_k| + 2^k E </tex>, где <tex> |f_k| </tex> {{---}} значение потока при масштабе <tex> \Delta = 2^k </tex>.
 
Максимальный поток в сети <tex> G </tex> ограничен сверху значением <tex> |f_k| + 2^k E </tex>, где <tex> |f_k| </tex> {{---}} значение потока при масштабе <tex> \Delta = 2^k </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
[[Файл:Flow_scale_3.png|530px|thumb|right|Разрез <tex> C_k </tex>]]
+
[[Файл: scaling.jpg|250px|thumb|Разрез <tex> C_k </tex>]]
  
 
В конце итерации с масштабом <tex> \Delta = 2^k </tex>, сеть <tex> G_{f_k} </tex> может быть разбита на два непересекающихся множества <tex> A_k </tex> и <tex> \overline{A_k} </tex> так, что остаточная пропускная способность каждого ребра, идущего из <tex> A_k </tex> в <tex> \overline{A_k} </tex>, не превосходит масштаба <tex> \Delta </tex>. То есть образуется [[Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез|разрез]] <tex> C_k = \langle A_k, \overline{A_k} \rangle </tex>.
 
В конце итерации с масштабом <tex> \Delta = 2^k </tex>, сеть <tex> G_{f_k} </tex> может быть разбита на два непересекающихся множества <tex> A_k </tex> и <tex> \overline{A_k} </tex> так, что остаточная пропускная способность каждого ребра, идущего из <tex> A_k </tex> в <tex> \overline{A_k} </tex>, не превосходит масштаба <tex> \Delta </tex>. То есть образуется [[Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез|разрез]] <tex> C_k = \langle A_k, \overline{A_k} \rangle </tex>.
  
При этом, количество таких рёбер не превосходит <tex> E </tex>.
+
При этом, количество таких ребер не превосходит <tex> E </tex>.
 
Значит, значение остаточного потока не может превосходить <tex> \Delta E = 2^k E </tex>.
 
Значит, значение остаточного потока не может превосходить <tex> \Delta E = 2^k E </tex>.
 
}}
 
}}
Строка 34: Строка 42:
 
2
 
2
 
|statement=
 
|statement=
Суммарное количество увеличивающих путей {{---}} <tex> O(E \log U) </tex>.
+
Количество дополняющих путей с масштабом <tex> 2^k </tex> не превосходит <tex> 2E </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
На некоторой итерации алгоритма каждый дополняющий путь имеет пропускную способность не меньше <tex> 2^k </tex>.
+
 
Дополняющий поток на предыдущем шаге ограничен значением <tex> 2^{k + 1} E </tex>. Следовательно, на каждой итерации количество дополняющих путей не превосходит <tex> 2E </tex>.}}
+
На предыдущей итерации по предыдущей лемме. Следовательно, количество дополняющих путей не превосходит <tex> 2E </tex>.
{{Утверждение
+
}}
 +
 
 +
{{Лемма
 +
|about=
 +
2
 
|statement=
 
|statement=
Время работы алгоритма {{---}} <tex> O(E^2 \log U) </tex>.
+
Общее количество увеличивающих путей не превышает <tex> O(E \log U) </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
В ходе выполнения алгоритма масштаб <tex> \Delta </tex> принимает следующие значения: <tex> S = \{2^{\lfloor \log_2 U \rfloor}, \ldots, 2^k, \ldots, 2, 1, 0\} </tex>. Тогда <tex> |S| = O(\log U) </tex> {{---}} количество итераций алгоритма.
+
На некоторой итерации алгоритма каждый дополняющий путь имеет пропускную способность не меньше <tex> 2^k </tex>.
 +
Дополняющий поток на предыдущей итерации ограничен значением <tex> 2^{k + 1} E </tex>. Следовательно, на каждой итерации количество дополняющих путей не превосходит <tex> 2E </tex>.
  
Количество итераций алгоритма {{---}} <tex> O(\log U) </tex>, значит, суммарное количество увеличивающих путей {{---}} <tex> O(E \log U) </tex>.
+
Следует из предыдущей леммы и факта, что количество итераций {{---}} <tex> O(\log U) </tex>.
 +
}}
  
Алгоритм [[Обход_в_ширину|обхода в ширину]] находит каждый дополняющий путь за время <tex> O(E) </tex>. Следовательно, суммарное время работы алгоритма {{---}} <tex> O(E^2 \log U) </tex>.}}
+
Алгоритм [[Обход_в_ширину|обхода в ширину]] находит каждый дополняющий путь за время <tex> O(E) </tex>. Следовательно, суммарное время работы алгоритма {{---}} <tex> O(E^2 \log U) </tex>.
 +
}}
  
 
== Псевдокод ==
 
== Псевдокод ==
  '''function''' maxFlowByScaling(G: '''graph''', s: '''int''', t: '''int'''): '''int'''
+
  '''Max_Flow_By_Scaling(G,s,t)'''
     '''int''' flow = 0                                        <font color=darkgreen> // поток в сети </font>
+
     <tex> f \leftarrow 0 </tex>
     '''int''' scale = <tex>2^{\lfloor\log_2U\rfloor}</tex>                                  <font color=darkgreen> // текущий минимальный размер потока, который пытаемся пустить </font>
+
     <tex> \Delta \leftarrow 2^{\lfloor\log_2U\rfloor} </tex>
     '''while''' scale <tex> \geqslant </tex> 1
+
     '''while''' <tex> \Delta \geq 1 </tex>
         '''while''' в <tex> G_f </tex> существует увеличивающий путь <tex> p </tex> с пропускной способностью не меньше, чем scale
+
         '''do while''' в <tex> G_f </tex> существует увеличивающий путь <tex> p </tex> с пропускной способностью не меньшей <tex> \Delta </tex>
            '''int''' minCapacity = <tex>\min\{c(u, v) \colon(u, v) \in p\} </tex>    <font color=darkgreen> // минимальная пропускная способность в увеличивающем пути </font>
+
                '''do''' <tex> \delta \leftarrow \min\{c(u, v) \colon(u, v) \in p\} </tex>
            увеличить поток по рёбрам <tex> p </tex> на minCapacity
+
                  увеличить поток по рёбрам <tex> p </tex> на <tex> \delta </tex>
            обновить <tex> G_f </tex>
+
                  обновить <tex> G_f </tex>
            flow = flow + minCapacity
+
                  <tex> f \leftarrow f + \delta </tex>
        scale = scale / 2
+
            <tex> \Delta \leftarrow \Delta / 2 </tex>
     '''return''' flow
+
     '''return''' <tex> f </tex>
 
 
== См. также ==
 
* [[Определение_сети,_потока|Определение сети, потока]]
 
* [[Алоритм_Эдмондса-Карпа|Алоритм Эдмондса-Карпа]]
 
* [[Алгоритм_Форда-Фалкерсона,_реализация_с_помощью_поиска_в_глубину|Алгоритм Форда-Фалкерсона]]
 
  
== Источники информации ==
+
== Литература ==
 
* [http://www.csd.uwo.ca/~yuri/Papers/iccv07_cap_scaling.pdf ''Olivier Juan, Yuri Boikov'': Capacity Scaling for Graph Cuts in Vision]
 
* [http://www.csd.uwo.ca/~yuri/Papers/iccv07_cap_scaling.pdf ''Olivier Juan, Yuri Boikov'': Capacity Scaling for Graph Cuts in Vision]
 
* [http://www.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=maxFlowRevisited Algorithm Tutorials. Maximum Flow: Augmenting Path Algorithms Comparison]
 
* [http://www.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=maxFlowRevisited Algorithm Tutorials. Maximum Flow: Augmenting Path Algorithms Comparison]
* [http://logic.pdmi.ras.ru/ics/talks/21stream.pdf ''Андрей Станкевич'': Задача о максимальном потоке]
+
* [http://www.cs-seminar.spb.ru/reports/34.pdf ''Андрей Станкевич'': Задача о максимальном потоке]
* [https://youtu.be/sEwp5ZAJJps?t=18m9s ''Андрей Станкевич'': Лекториум, дополнительные главы алгоритмов, лекция 12]
 
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Задача о максимальном потоке]]
 
[[Категория: Задача о максимальном потоке]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: