Алгоритм масштабирования потока — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
Пусть дана [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|сеть]] <tex> G </tex>, все ребра которой имеют целочисленную пропускную способность. Обозначим за <tex> U </tex> максимальную пропускную способность: <tex> U = \max\limits_{(u, v) \in E} c(u, v) </tex>.
+
Пусть дана [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|сеть]] <tex> G </tex>, все ребра которой имеют целочисленную пропускную способность. Обозначим за <tex> U </tex> максимальную пропускную способность: <tex> U = \max\limits_{(u, v) \in E} c(u, v), \Delta = 2^{\lfloor\log_2U\rfloor} </tex>. Обозначим количество вершин за <tex> n </tex>, а количество ребер за <tex> m </tex>.
  
 
Идея алгоритма заключается в нахождении путей с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать поток по ним, а затем по всем остальным.
 
Идея алгоритма заключается в нахождении путей с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать поток по ним, а затем по всем остальным.
  
Если записать пропускную способность любого ребра в двоичном виде, то длина полученной битовой последовательности не будет превышать <tex> \lfloor \log_2 U \rfloor + 1 = n + 1 </tex> бит, а значение пропускной способности определяется формулой:
+
На каждой итерации найдем увеличивающие пути в дополняющей сети с пропускной способностью, не меньшей <tex> \Delta </tex>, и увеличим поток вдоль них.
<tex> c(u, v) = \sum\limits_{i = 0}^n a_i(u, v) \times 2^i, a_i(u, v) \in \{0, 1\} </tex>.
 
 
 
Методом [[Алгоритм_Форда-Фалкерсона,_реализация_с_помощью_поиска_в_глубину|Форда-Фалкерсона]] находим поток <tex> f_0 </tex> для сети <tex> G_0 </tex> с урезанными пропускными способностями <tex> c_0(u, v) = a_n(u, v) </tex>.
 
Добавим следующий бит и находим следующее приближение для графа <tex> G_1 </tex> с новыми пропускными способностями <tex> c_1(u, v) = 2 a_n(u, v) + a_{n - 1}(u, v) - 2 f_0(u, v) </tex>.
 
 
 
После <tex> n + 1 </tex> итерации получим ответ к задаче, так как <tex> c_{n}(u, v) = c(u, v) </tex>.
 
  
 
== Оценка времени работы ==
 
== Оценка времени работы ==
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Время работы алгоритма <tex> O(E^2 \log U) </tex>.
+
Время работы алгоритма {{---}} <tex> O(E^2 \log U) </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Докажем, что время работы каждой итерации — <tex> O(E^2) </tex>.
+
Пусть <tex> S = {2^log_2U, \ldots, 2^k, \ldots, 2, 1, 0} </tex> {{---}} множество уровней.
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 +
|about=
 +
1
 
|statement=
 
|statement=
Время работы первой итерации алгоритма — <tex> O(E^2) </tex>.
+
Максимальный поток в сети <tex> G </tex> ограничен сверху значением <tex> |f_k| + 2^k m </tex>, где <tex> |f_k| </tex> - значение потока
 
|proof=
 
|proof=
На первом шаге ребра имеют пропускную способность <tex> 1 </tex>. Значит, <tex> |f_0| \leq V </tex>. Поиск каждого дополнительного пути требует <tex> O(E) </tex> времени, а их количество не больше <tex> V </tex>. Итоговое время работы первой итерации — <tex> O(VE) \leq O(E^2) </tex>.
+
 
 
}}
 
}}
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 +
|about=
 +
2
 
|statement=
 
|statement=
Время работы второй итерации алгоритма — <tex> O(E^2) </tex>.
+
Количество увеличивающих путей на <tex> k </tex>-ом уровне не превосходит <tex> 2m </tex>
 
|proof=
 
|proof=
[[Файл:Scaling.jpg|250px|thumb|right|Разрез <tex> \langle A, \overline{A} \rangle </tex>.]]
+
Следует из предыдущей леммы. Каждый увеличивающий путь на <tex> k </tex>-ом уровне имеет пропускную способность не меньше <tex> 2^k </tex>.
Пусть вершина <tex> s </tex> — [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|источник]] графа, вершина <tex> t </tex> — [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|сток]].
+
}}
[[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь|Дополняющая сеть]] <tex> G_{0_{f_0}} </tex> — [[Отношение_связности,_компоненты_связности#.D0.A1.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9_.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84.D0.B0|несвязна]]. Обозначим за <tex> A </tex> компоненту связности графа, содержащую вершину <tex> s </tex>. Тогда <tex> t \notin A </tex>. Источник и сток лежат в разных компонентах связности, значит <tex> c_{0_{f_0}}(A, \overline{A}) = c_0(A, \overline{A}) - f_0(A, \overline{A}) = 0 </tex>.
 
  
Следовательно, в сети <tex> G_1 </tex> с пропускными способностями <tex> c_1 </tex>:
+
{{Лемма
<tex> \forall u \in A, v \in \overline{A} \colon c_1(u, v) \leq 1 </tex>.
+
|about=
 
+
3
Рассмотрим максимальный поток <tex> f'_1 </tex> в сети <tex> G_1 </tex>.
+
|statement=
<tex> \langle A, \overline{A} \rangle </tex> — [[Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез|разрез]], значит:
+
Количество увеличивающих путей не превышает <tex> O(m logU) </tex>.
<tex> |f'_1| = f'_1(A, \overline{A}) \leq c(A, \overline{A}) \leq E, f_1 = f_0 + f'_1 </tex>.
+
|proof=
Пропускная способность каждого дополняющего пути не меньше <tex> 1 </tex>, а поиск каждого занимает <tex> O(E) </tex> времени. Значит, итоговое время работы — <tex> O(E^2) </tex>.
+
Следует из предыдущей леммы и факта, что количество уровней {{---}} <tex> log_2U </tex>.
 
}}
 
}}
  
Оценка времени работы остальных итераций доказывается аналогично второму случаю. Количество итераций — <tex> O(\log U) </tex>. Значит, общее время работы алгоритма — <tex> O(E^2 \log U) </tex>.
 
 
}}
 
}}
  

Версия 23:47, 28 февраля 2012

Алгоритм

Пусть дана сеть [math] G [/math], все ребра которой имеют целочисленную пропускную способность. Обозначим за [math] U [/math] максимальную пропускную способность: [math] U = \max\limits_{(u, v) \in E} c(u, v), \Delta = 2^{\lfloor\log_2U\rfloor} [/math]. Обозначим количество вершин за [math] n [/math], а количество ребер за [math] m [/math].

Идея алгоритма заключается в нахождении путей с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать поток по ним, а затем по всем остальным.

На каждой итерации найдем увеличивающие пути в дополняющей сети с пропускной способностью, не меньшей [math] \Delta [/math], и увеличим поток вдоль них.

Оценка времени работы

Утверждение:
Время работы алгоритма — [math] O(E^2 \log U) [/math].
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] S = {2^log_2U, \ldots, 2^k, \ldots, 2, 1, 0} [/math] — множество уровней.

Лемма (1):
Максимальный поток в сети [math] G [/math] ограничен сверху значением [math] |f_k| + 2^k m [/math], где [math] |f_k| [/math] - значение потока
Лемма (2):
Количество увеличивающих путей на [math] k [/math]-ом уровне не превосходит [math] 2m [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Следует из предыдущей леммы. Каждый увеличивающий путь на [math] k [/math]-ом уровне имеет пропускную способность не меньше [math] 2^k [/math].
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (3):
Количество увеличивающих путей не превышает [math] O(m logU) [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Следует из предыдущей леммы и факта, что количество уровней — [math] log_2U [/math].
[math]\triangleleft[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Псевдокод

Max_Flow_By_Scaling(G,s,t)
    [math]f \leftarrow 0[/math]
    [math]\Delta \leftarrow 2^{\lfloor\log_2U\rfloor}[/math]
    while [math]\Delta \geq 1[/math]
        do while в [math]G_f[/math] существует путь [math]s-t[/math] с пропускной способностью не меньшей [math]\Delta[/math]
               do [math]P\leftarrow[/math] путь с пропускной способностью не меньшей [math]\Delta[/math]
                  [math]\delta \leftarrow \min\{c_{ij}\colon(i,j)\in P\}[/math]
                  увеличить поток по рёбрам [math]P[/math] на [math]\delta[/math]
                  обновить [math]G_f[/math]
                  [math]f \leftarrow f + \delta[/math]
           [math]\Delta \leftarrow \Delta / 2[/math]
    return [math]f[/math]

Литература