Алгоритм масштабирования потока — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
Пусть дана [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|сеть]] <tex> G </tex>, все ребра которой имеют целочисленную пропускную способность. Обозначим за <tex> U </tex> максимальную пропускную способность: <tex> U = \max\limits_{(u, v) \in E} c(u, v), \Delta = 2^{\lfloor\log_2U\rfloor} </tex>.
+
Пусть дана [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|сеть]] <tex> G </tex>, все ребра которой имеют целочисленную пропускную способность. Обозначим за <tex> U </tex> максимальную пропускную способность: <tex> U = \max\limits_{(u, v) \in E} c(u, v) </tex>.
  
Идея алгоритма заключается в нахождении путей с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать поток по ним, а затем по всем остальным.
+
Идея алгоритма заключается в нахождении путей с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать поток по ним, а затем по всем остальным. Для этого воспользуемся уровнем <tex> \Delta </tex>. Изначально <tex> \Delta = 2^{\lfloor \log_2 U \rfloor} </tex>.
  
На каждой итерации найдем увеличивающие пути в дополняющей сети с пропускной способностью, не меньшей <tex> \Delta </tex>, и увеличим поток вдоль них.
+
На каждой итерации в дополняющей сети находим увеличивающие пути с пропускной способностью, не меньшей <tex> \Delta </tex>, и увеличим поток вдоль них. Уменьшив уровень <tex> \Delta </tex> в <tex> 2 </tex> раза, переходим к следующей итерации.
 +
 
 +
== Корректность алгоритма ==
 +
Заметим, что при <tex> \Delta = 1 </tex> алгоритм вырождается в алгоритм [[Алоритм_Эдмондса-Карпа|Эдмондса-Карпа]], вследствие чего является корректным.
  
 
== Оценка времени работы ==
 
== Оценка времени работы ==
Строка 11: Строка 14:
 
Время работы алгоритма {{---}} <tex> O(E^2 \log U) </tex>.
 
Время работы алгоритма {{---}} <tex> O(E^2 \log U) </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Пусть <tex> S = {2^log_2U, \ldots, 2^k, \ldots, 2, 1, 0} </tex> {{---}} множество уровней.
+
Пусть <tex> S = \{2^{\lfloor \log_2 U \rfloor}, \ldots, 2^k, \ldots, 2, 1, 0\} </tex> {{---}} множество уровней.
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
Строка 35: Строка 38:
 
3
 
3
 
|statement=
 
|statement=
Количество увеличивающих путей не превышает <tex> O(E logU) </tex>.
+
Общее количество увеличивающих путей не превышает <tex> O(E \log U) </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Следует из предыдущей леммы и факта, что количество уровней {{---}} <tex> log_2U </tex>.
+
Следует из предыдущей леммы и факта, что количество уровней {{---}} <tex> O(\log_2 U) </tex>.
 
}}
 
}}
  

Версия 00:21, 29 февраля 2012

Алгоритм

Пусть дана сеть [math] G [/math], все ребра которой имеют целочисленную пропускную способность. Обозначим за [math] U [/math] максимальную пропускную способность: [math] U = \max\limits_{(u, v) \in E} c(u, v) [/math].

Идея алгоритма заключается в нахождении путей с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать поток по ним, а затем по всем остальным. Для этого воспользуемся уровнем [math] \Delta [/math]. Изначально [math] \Delta = 2^{\lfloor \log_2 U \rfloor} [/math].

На каждой итерации в дополняющей сети находим увеличивающие пути с пропускной способностью, не меньшей [math] \Delta [/math], и увеличим поток вдоль них. Уменьшив уровень [math] \Delta [/math] в [math] 2 [/math] раза, переходим к следующей итерации.

Корректность алгоритма

Заметим, что при [math] \Delta = 1 [/math] алгоритм вырождается в алгоритм Эдмондса-Карпа, вследствие чего является корректным.

Оценка времени работы

Утверждение:
Время работы алгоритма — [math] O(E^2 \log U) [/math].
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] S = \{2^{\lfloor \log_2 U \rfloor}, \ldots, 2^k, \ldots, 2, 1, 0\} [/math] — множество уровней.

Лемма (1):
Максимальный поток в сети [math] G [/math] ограничен сверху значением [math] |f_k| + 2^k E [/math], где [math] |f_k| [/math] - значение потока
Лемма (2):
Количество увеличивающих путей на [math] k [/math]-ом уровне не превосходит [math] 2E [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Следует из предыдущей леммы. Каждый увеличивающий путь на [math] k [/math]-ом уровне имеет пропускную способность не меньше [math] 2^k [/math].
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (3):
Общее количество увеличивающих путей не превышает [math] O(E \log U) [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Следует из предыдущей леммы и факта, что количество уровней — [math] O(\log_2 U) [/math].
[math]\triangleleft[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Псевдокод

Max_Flow_By_Scaling(G,s,t)
    [math] f \leftarrow 0 [/math]
    [math] \Delta \leftarrow 2^{\lfloor\log_2U\rfloor} [/math]
    while [math] \Delta \geq 1 [/math]
        do while в [math] G_f [/math] существует увеличивающий путь [math] p [/math] с пропускной способностью не меньшей [math] \Delta [/math]
               do [math] \delta \leftarrow \min\{c(u, v) \colon(u, v) \in p\} [/math]
                  увеличить поток по рёбрам [math] p [/math] на [math] \delta [/math]
                  обновить [math] G_f [/math]
                  [math] f \leftarrow f + \delta [/math]
           [math] \Delta \leftarrow \Delta / 2 [/math]
    return [math] f [/math]

Литература