Алгоритм нахождения Гамильтонова цикла в условиях теорем Дирака и Оре — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Описание алгоритма)
(Псевдокод)
Строка 14: Строка 14:
 
|-
 
|-
 
|  
 
|  
   for(int i = 1; i < n; i++)             //перебираем все пары соседних вершин в перестановке
+
   i = 1
     if (<tex> v_i v_{i+1} \in \mathbb{G} </tex>)                     //если есть ребро
+
  for i < n              //перебираем все пары соседних вершин в перестановке
 +
     if <tex> v_i v_{i+1} \in \mathbb{E} </tex>                      //если есть ребро
 
       continue;                          //переходим к следующей паре  
 
       continue;                          //переходим к следующей паре  
 
     else                                //иначе
 
     else                                //иначе
       while(<tex> v_j \in \mathbb{G} \setminus \{v_i , v_{i+1} \}</tex>)         //перебираем все вершины
+
       for <tex>v_j \in \mathbb{V} \setminus \{v_i, v_{i + 1}\}</tex>          //перебираем все вершины
         if (<tex>v_i v_j \notin \mathbb{E}\ \mid \mid v_{i+1} v_{j+1} \notin \mathbb{E}</tex>)   //если есть ребра <tex>v_i v_j,\ v_{i+1} v_{j+1} </tex>
+
         if <tex>v_i v_j \in \mathbb{E}\ \mid \mid v_{i+1} v_{j+1} \in \mathbb{E}</tex>  //если есть ребра <tex>v_i v_j,\ v_{i+1} v_{j+1} </tex>
 
           swap(<tex> i+1, j</tex>);            //разворачиваем часть перестановки от <tex>\mathrm{i}+1 </tex> до <tex>\mathrm{j} </tex>
 
           swap(<tex> i+1, j</tex>);            //разворачиваем часть перестановки от <tex>\mathrm{i}+1 </tex> до <tex>\mathrm{j} </tex>
 
           continue;                      //переходим к следующей паре вершин   
 
           continue;                      //переходим к следующей паре вершин   

Версия 17:10, 10 октября 2013

Описание алгоритма

Алгоритм находит гамильтонов цикл в неориентированном графе [math] \mathbb{G} = (\mathbb{V}, \mathbb{E}) [/math], если выполняются условия теоремы Оре или выполнена теорема Дирака. Рассмотрим перестановку вершин [math] \mathrm{v}_1 \mathrm{v}_2 ... \mathrm{v}_n[/math], где [math]n = | \mathbb{V} |[/math]. Если между каждой парой соседних вершин в перестановке существует ребро, то мы получили Гамильтонов цикл. В противном случае начнем последовательно рассматривать пары соседних вершин [math] \mathrm{v}_i \mathrm{v}_{i+1} [/math], начиная с пары [math] \mathrm{v}_1 \mathrm{v}_2 [/math].

Если между ними есть ребро, то переходим к следующей паре вершин [math] \mathrm{v}_{i+1} \mathrm{v}_{i+2}[/math].

Если же ребра нет, то найдем такую вершину [math]\mathrm{v}_j[/math], что [math] \mathrm{v}_j \in{\mathbb{V}} \setminus \{ \mathrm{v}_i, \mathrm{v}_{i+1} \} [/math], и существуют ребра [math] \mathrm{v}_i \mathrm{v}_j[/math] и [math] \mathrm{v}_{i+1} \mathrm{v}_{j+1} [/math]. После чего перевернем часть перестановки от [math]i+1 [/math] до [math] j [/math] включительно(считаем, что наша перестановка зациклиный список). Например, если [math]n = 10, i = 8, j = 1[/math], то [math]\mathrm{v}_9 [/math] и [math]\mathrm{v}_1[/math] поменяются местами, а [math]\mathrm{v}_{10}[/math] останется на месте.

Псевдокод

 i = 1
 for i < n              //перебираем все пары соседних вершин в перестановке
   if [math] v_i v_{i+1} \in \mathbb{E} [/math]                      //если есть ребро
     continue;                          //переходим к следующей паре 
   else                                 //иначе
     for [math]v_j \in \mathbb{V} \setminus \{v_i, v_{i + 1}\}[/math]          //перебираем все вершины
       if [math]v_i v_j \in \mathbb{E}\ \mid \mid v_{i+1} v_{j+1} \in \mathbb{E}[/math]   //если есть ребра [math]v_i v_j,\ v_{i+1} v_{j+1} [/math]
         swap([math] i+1, j[/math]);             //разворачиваем часть перестановки от [math]\mathrm{i}+1 [/math] до [math]\mathrm{j} [/math]
         continue;                      //переходим к следующей паре вершин  
       

Доказательство алгоритма

Заметим, что поскольку мы сделали нашу перестановку в виде зацикленного списка, то мы можем рассматривать перебор все пар соседних в перестановке вершин, как сдвиг указателя на начало списка. Тогда будем сдвигать указатель на нашу перестановку так, чтобы она начиналась с рассматриваемой пары [math]\mathrm{v}_i \mathrm{v}_{i+1}[/math]. Если теперь между первыми двумя вершинами есть ребро, то можем переходить к рассмотрению следующей пары, так как в этом случае мы ничего не делаем. Если же ребра нет, то докажем, что обязательно найдется вершина [math] \mathrm{v}_j \in \mathbb{V} \setminus \{\mathrm{v}_1, \mathrm{v}_{2}\}[/math], такая что [math]\mathrm{v}_1 \mathrm{v}_j,\ \mathrm{v}_2 \mathrm{v}_{j+1} \in \mathbb{E} [/math].

Пусть [math]S=[/math] { [math] i| \mathrm{e}_i = \mathrm{v}_1 \mathrm{v}_i \in \mathbb{E}[/math]} [math]\subset \{3, 4, ...,n\}[/math] и [math]T = [/math] { [math] i| f_i=\mathrm{v}_2 \mathrm{v}_{i+1} \in \mathbb{E}[/math] } [math]\subset \{2, 3, ...,n-1\}[/math]. Тогда [math]S \cup T \subset \{2,3,...,n\}[/math], откуда [math]|S \cup T |\lt n[/math]. Но [math]|S|+|T| = deg v_1 + deg v_2 \gt =n[/math] по условию теоремы Оре или теоремы Дирака, в зависимости от наших начальных условий. А значит [math]S \cap T \ne \varnothing[/math], следовательно искомая вершина обязательно найдется. Поскольку каждый раз, когда у нас нет ребра между двумя обрабатываемыми вершинами, мы переворачиваем нашу последовательность так, чтобы после переворота [math]\mathrm{v}_i, \mathrm{v}_{i+1}[/math] и [math]\mathrm{v}_j, \mathrm{v}_{j+1}[/math] становились связанными ребром, то, рассмотрев все пары вершин в последовательности, мы добьемся того, что любые две соседние пары вершин [math]\mathrm{v}_i, \mathrm{v}_{i+1}[/math] будут связаны ребром, а это и значит что мы нашли цикл.