Алгоритм поиска блокирующего потока в ациклической сети — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Алгоритм узкого места)
(Малхотры — Кумара — Махешвари)
Строка 33: Строка 33:
 
<b>Замечание</b> Если в [[Схема алгоритма Диница|алгоритме Диница]] искать блокирующий поток удаляющим обходом, то его эффективность составит <tex>O(V^2E)</tex>, что уже лучше эффективности [[Алоритм Эдмондса-Карпа|алгоритма Эдмондса-Карпа]] <tex>O(VE^2)</tex>.
 
<b>Замечание</b> Если в [[Схема алгоритма Диница|алгоритме Диница]] искать блокирующий поток удаляющим обходом, то его эффективность составит <tex>O(V^2E)</tex>, что уже лучше эффективности [[Алоритм Эдмондса-Карпа|алгоритма Эдмондса-Карпа]] <tex>O(VE^2)</tex>.
  
==Малхотры — Кумара — Махешвари==
+
==Алгоритм Малхотры — Кумара — Махешвари==
 
===Идея===
 
===Идея===
 
Для каждой вершины  вводится потенциал потока, равный максимальному дополнительному потоку, который может пройти через эту вершину. Далее запускаем цикл, на каждой итерации которого определяем вершину <tex>v</tex> с минимальным потенциалом <tex>p</tex>. Затем пускается поток величины <tex>p</tex> из истока в сток, проходящий через эту вершину. При этом если [[Дополняющая сеть, дополняющий путь|остаточная пропускная способность]] ребра равна нулю, то это ребро удаляется. Также, удаляются все вершины, у которых не остаётся ни одного входящего и/или ни одного выходящего ребра. При удалении вершины все смежные ребра удаляются.
 
Для каждой вершины  вводится потенциал потока, равный максимальному дополнительному потоку, который может пройти через эту вершину. Далее запускаем цикл, на каждой итерации которого определяем вершину <tex>v</tex> с минимальным потенциалом <tex>p</tex>. Затем пускается поток величины <tex>p</tex> из истока в сток, проходящий через эту вершину. При этом если [[Дополняющая сеть, дополняющий путь|остаточная пропускная способность]] ребра равна нулю, то это ребро удаляется. Также, удаляются все вершины, у которых не остаётся ни одного входящего и/или ни одного выходящего ребра. При удалении вершины все смежные ребра удаляются.

Версия 18:01, 17 января 2012

Жадный Алгоритм

Идея заключается в том, чтобы по одному находить пути из истока [math]s[/math] в сток [math]t[/math], пока это возможно. Обход в глубину найдёт все пути из [math]s[/math] в [math]t[/math], если из [math]s[/math] достижима [math]t[/math], а пропускная способность каждого ребра [math]c(u, v)\gt 0[/math] поэтому, насыщая рёбра, мы хотя бы единожды достигнем стока [math]t[/math], следовательно блокирующий поток всегда найдётся.

Используя [math]dfs[/math], каждый путь находится за [math]O(E)[/math], где [math]E[/math] — число рёбер в графе. Поскольку каждый путь насыщает как минимум одно ребро, всего будет [math]O(E)[/math] путей. Итого общая асимптотика составляет [math]O(E^2)[/math].

Удаляющий обход

Аналогично предыдущей идее, однако будем удалять в процессе обхода в глубину из графа все рёбра, вдоль которых не получится дойти до стока [math]t[/math]. Это очень легко реализовать: достаточно удалять ребро после того, как мы просмотрели его в обходе в глубину (кроме того случая, когда мы прошли вдоль ребра и нашли путь до стока). Корректность при этом сохраняется согласно предыдущему пункту.

int dfs (int v, int flow) 
{
   if (!flow)  return 0;
   if (v == t)  return flow;
   for (int & to=ptr[v]; to<n; ++to) 
   {
       if (d[to] != d[v] + 1)  continue;
       int pushed = dfs (to, min (flow, c[v][to] - f[v][to]));
       if (pushed) 
       {
           f[v][to] += pushed;
           return pushed;
       }
    }
    return 0;
}

.....................................

while (pushed = dfs(s, INF))
   flow += pushed;

Если обход в глубину достигает стока, насыщается как минимум одно ребро, иначе как минимум один указатель продвигается вперед. Значит один запуск обхода в глубину работает за [math]O(V + K)[/math], где [math]V[/math] — число вершин в графе, а [math]K[/math] — число продвижения указателей. Ввиду того, что всего запусков обхода в глубину в рамках поиска одного блокирующего потока будет [math]O(P)[/math], где [math]P[/math] — число рёбер, насыщенных этим блокирующим потоком, то весь алгоритм поиска блокирующего потока отработает за [math]O(PV + \sum\limits_i{K_i})[/math], что, учитывая, что все указатели в сумме прошли расстояние [math]O(E)[/math], дает асимптотику [math]O(PV + E)[/math]. В худшем случае, когда блокирующий поток насыщает все ребра, асимптотика получается [math]O(VE)[/math].

Замечание Если в алгоритме Диница искать блокирующий поток удаляющим обходом, то его эффективность составит [math]O(V^2E)[/math], что уже лучше эффективности алгоритма Эдмондса-Карпа [math]O(VE^2)[/math].

Алгоритм Малхотры — Кумара — Махешвари

Идея

Для каждой вершины вводится потенциал потока, равный максимальному дополнительному потоку, который может пройти через эту вершину. Далее запускаем цикл, на каждой итерации которого определяем вершину [math]v[/math] с минимальным потенциалом [math]p[/math]. Затем пускается поток величины [math]p[/math] из истока в сток, проходящий через эту вершину. При этом если остаточная пропускная способность ребра равна нулю, то это ребро удаляется. Также, удаляются все вершины, у которых не остаётся ни одного входящего и/или ни одного выходящего ребра. При удалении вершины все смежные ребра удаляются.

Подробное описание

Для каждой вершины вычислим входящий и исходящий потенциал вершин — сумму пропускных способностей [math]c(u, v)[/math] дуг сети Диница, входящих и исходящих из вершины соответственно. Входящий потенциал истока и исходящий потенциал стока положим равными бесконечности. Определим потенциал или пропускную способность вершины в сети как минимум из ее входящего и исходящего потенциалов. Таким образом, потенциал вершины определяет максимально возможное количество потока, который может через нее проходить. Ясно, что через вершины с нулевым потенциалом поток проходить не может. Следовательно, их можно удалить из вспомогательной сети. Удалим эти вершины и дуги, им инцидентные, обновив должным образом потенциалы вершин, смежных с удаленными. Если в результате появятся новые вершины с нулевым потенциалом, удалим рекурсивно и их. В результате во вспомогательной сети останутся только вершины с ненулевым потенциалом.

После этого приступим к построению блокирующего потока. Пусть вершина [math]v[/math] принадлежит [math]k[/math]-ому слою. Протолкнем [math]p[/math] единиц потока из вершины с минимальным потенциалом в смежные с ней вершины по исходящим дугам с ненулевой остаточной пропускной способностью. Попутно будем переносить проталкиваемый поток в исходную сеть, а также корректировать потенциалы вершин, отправляющих и принимающих избыток потока. В результате, весь (в виду минимальности потенциала вершины [math]v[/math]) проталкиваемый поток соберется в вершинах [math](k+1)[/math]-го слоя. Повторим процесс отправки потока из вершин [math](k+1)[/math]-го слоя, содержащих избыток потока, в смежные им вершины [math](k+2)[/math]-го слоя. И так до тех пор, пока весь поток не соберется в последнем слое. Заметим, что в этом слое содержится только сток, ибо все остальные вершины, ранее ему принадлежащие, были удалены из сети Диница, как вершины, имеющие нулевой потенциал. Следовательно, весь поток величины [math]p[/math], отправленный из вершины с минимальным потенциалом полностью соберется в стоке. На втором этапе вновь, начиная с вершины [math]v[/math], осуществляется подвод потока уже по входящим дугам. В результате на первом шаге недостаток потока переадресуется к узлам [math](k-1)[/math]-го слоя, затем [math](k-2)[/math]-го. И так до тех пор, пока весь потока величины [math]p[/math], отправленные из вершины с минимальным потенциалом, не соберется в истоке. Таким образом, поток и во вспомогательной и в основной сети увеличится на величину [math]p[/math].


[math]MPM algorithm(s, t)[/math]
[math]for each (uv) \in E[/math]
  [math]f(uv)[/math] = 0;
Вычисляем остаточную сеть [math]R[/math];
Найдём вспомогательный граф [math]L[/math] для [math]R[/math];
[math]while (t \in L)[/math]
[math]begin[/math]
  [math]while[/math] ([math]t[/math] достижима из [math]s[/math] в [math]L[/math])
  [math]begin[/math]
    найдём [math]v[/math] с миниальной пропускной способностью [math]g[/math];
    проталкиваем [math]g[/math] единиц потока из [math]v[/math] в [math]t[/math];
    проталкиваем [math]g[/math] единиц потока из [math]s[/math] в [math]v[/math];
    изменяем [math]f[/math], [math]L[/math] и [math]R[/math];
  [math]end[/math]
  вычисляем новый вспомогательный граф [math]L[/math] из [math]R[/math];
[math]end[/math]

Асимптотика

Если информация о входящих и исходящих дугах будет храниться в виде связных списков, то для того, чтобы пропустить поток, на каждой итерации будет выполнено [math]O(K + E_i)[/math] действий, где [math]K[/math] соответствует числу рёбер, для которых остаточная пропускная способность уменьшилась, но осталась положительной, а [math]E_i[/math] — числу удалённых ребер. Таким образом, для поиска блокирующего потока будет выполнено [math]\sum\limits_i{O(K+E_i)} = O(K^2)[/math] действий.

Замечание Алгоритм Малхотры — Кумара — Махешвари для поиска блокирующего потока использует алгоритм узкого места.

Источники