Изменения

Пусть Далее будут рассмотрены некоторые способы нахождения всех вхождений образца в текст с помощью [[суффиксный массив|суффиксного массива]]. == Наивный алгоритм поиска == Простейший способ узнать, встречается ли образец в тексте, используя суффиксный массив, {{---}} взять первый символ образца и [[Целочисленный двоичный поиск|бинарным поиском]] по [[суффиксный массив|суффиксному массиву]] найти диапазон с суффиксами, начинающимися на такую же букву. Так как все элементы в полученном диапазоне отсортированы, а первые символы одинаковые, то оставшиеся после отбрасывания первого символа суффиксы тоже отсортированы. А значит, можно повторять процедуру сужения диапазона поиска уже по второму, затем третьему и так далее символу образца до получения либо пустого диапазона, либо успешного нахождения всех символов образца.  Бинарный поиск работает за время равное <tex> O(\log|s|) </tex>, а сравнение суффикса с образцом не может превышать длины образца.  Таким образом время работы алгоритмы <tex> O(|p|\log|s|)</tex>, где <tex> s </tex> {{---}} текст, <tex> p </tex> {{---}} образец. === Псевдокод === '''Поиск диапазона '''  <tex> \mathtt {cmp (k)}</tex> {{---}} функция, сравнивающая строки по <tex>k</tex>-тому символу. <tex> \mathtt {lower}</tex>_<tex>\mathtt {bound (left, right, value, cmp)}</tex>, <tex> \mathtt {upper}</tex>_<tex>\mathtt {bound (left, right, value, cmp)}</tex> {{---}} функции бинарного поиска. Элементы строк нумеруются с единицы '''function''' elementary_search(p: '''String''', s: '''String'''): left = 0 <font color=darkgreen> // left, right {{---}} границы диапазона </font> right = n <font color=darkgreen> // n {{---}} длина образца </font> '''for''' i = 1 '''to''' n left = lower_bound(left, right, p[i], cmp (i) ) right = upper_bound(left, right, p[i], cmp (i) ) '''if''' (right - left > 0) print left print right '''else''' print "No matches" == Более быстрый поиск == Существует более быстрый алгоритм поиска образца в строке. Для этого используется <tex>\mathtt {lcp} </tex> ([[Суффиксный массив#Применения|longest common prefix]]). === Условные обозначения ===  * <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> и <tex>\mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex> {{---}} левая и правая границы диапазона ответов в суффиксном массиве <tex> array </tex>,* <tex> L </tex> {{---}} левая граница текущего диапазона поиска (изначально равна <tex>0</tex>),* <tex> R </tex> {{---}} правая граница текущего диапазона поиска (изначально равна <tex> |S| - 1 </tex>),* <tex> M = (L + R) / 2 </tex> {{---}} середина текущего диапазона поиска,* <tex> l = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[L], p)} </tex> {{---}} длина общего префикса образца и левого края текущего диапазона поиска,* <tex> r = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[R], p)} </tex> {{---}} длина общего префикса образца и правого края текущего диапазона поиска,* <tex> m_l = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[L], array[M])} </tex> {{---}} длина общего префикса середины текущего диапазона и левого края текущего диапазона поиска,* <tex> m_r = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[M], array[R])} </tex> {{---}} длина общего префикса середины текущего диапазона и правого края текущего диапазона поиска. === Алгоритм === Если диапазон ответов не пустой, то у нас любого суффикса в пределах диапазона ответов есть префикс, который полностью совпадает с образцом. В самом начале просто посчитаем <tex> l</tex> и <tex> r </tex> за линейное время с помощью [[Алгоритм Касаи и др.|алгоритма Касаи, Арикавы, Аримуры, Ли и Парка]], а во время выполнения алгоритма прямой пересчет производиться не будет, изменения будут происходить за <tex> O(1) </tex>. Подсчет <tex> m_l </tex> и <tex> m_r </tex> можно производить за <tex> O(1) </tex>, если применять [[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера|алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]. Любая пара суффиксов <tex> array </tex> из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет хотя бы <tex> m_l </tex> совпадений в префиксах. Аналогично любая пара суффиксов <tex> array </tex> из диапазона <tex> [M, R] </tex> имеет хотя бы <tex> m_r </tex> совпадений в префиксах. === Поиск границ диапазона ответов === Рассмотрим поиск левой границы диапазона ответов <tex>\mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex>. Сразу проверим образец с суффиксами по краям исходного диапазона поиска <tex> L </tex> и <tex> R </tex>: если образец лексикографически больше последнего суффикса <tex> array </tex> или меньше первого суффикса, то образец не встречается в строке вовсе и поиск можно прекратить. <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> ищется при помощи бинарного поиска по суффиксному массиву <tex> P array </tex>. На каждом шаге поиска нам надо определять, на каком отрезке <tex> [L, строка M] </tex> или <tex> S [M, R] </tex> надо продолжать поиск границы <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> . Каждую итерацию бинарного поиска будем сравнивать <tex> l </tex> и <tex> r </tex>. Если <tex> l \geqslant r </tex>, то возможно одно из трех: # <tex> m_l > l </tex>. Это означает, что каждая пара суффиксов из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет между собой больше совпадений, чем суффикс с левого края с образцом, поэтому продолжим поиск в диапазоне <tex> [Суффиксный массив|суффиксный массивM, R]</tex>. Значение <tex> l </tex> при этом не меняется, а <tex> L = M </tex>. # <tex> m_l = l </tex>. Это означает, что у каждого суффикса из <tex> [L, M] </tex> есть хотя бы <tex> l </tex> совпадений с образцом. Проверим суффикс в позиции <tex> M </tex>, так как с ним совпадений у образца может получиться больше. Начнем сравнивать суффикс в позиции <tex> M </tex> начиная с <tex> sufArray l </tex>-ого символа. Мы хотим найти либо найдем полное вхождение образца в суффикс, либо на каком-то шаге <tex> k </tex> получим несоответствие. В первом случае <tex> R = M </tex> и <tex> r = |p| </tex>, так как мы ищем левую границу диапазона ответов. Во втором случае все вхождения данного зависит от лексикографического несовпадения. Если символ <tex> l + k + 1 </tex> у образца меньше, чем у суффикса, то <tex> R = M </tex> и <tex> r = l + k + 1</tex>, иначе <tex> L = M </tex> и <tex> l = l + k + 1</tex>.# <tex> m_l < l </tex>. Это означает, что совпадений у суффикса с левого края диапазона поиска с образцом больше, чем у суффикса в позиции <tex> M </tex>. Очевидно, что поиск надо продолжать между <tex> L </tex> и <tex> M </tex>, то есть <tex> R = M </tex>, а новое значение <tex> r = m_l </tex>. Если <tex> l < r </tex>, то действия аналогичны. Также три случая:# <tex> m_r > r </tex>. Сдвигаем <tex> R </tex> в <tex> M </tex>. Значение <tex> r </tex> не изменяется.# <tex> m_r = r </tex>. Считаем <tex>\mathtt {lcp} </tex> для образца и суффикса, стоящего в позиции <tex> M </tex>, начиная с позиции <tex> r </tex>. # <tex> m_r < r </tex>. Сдвигаем <tex> L </tex> в <tex> M </tex>, <tex> l = m_r </tex>.Бинарный поиск будет работать до тех пор, пока <tex> R - L > 1 </tex>. После этого можно присвоить левой границе диапазона ответов <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left} = R </tex> и переходить к поиску правой границы диапазона ответов <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex> . Рассуждения при поиске <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex> аналогичны, только нужно не забыть изменить границы поиска на изначальные <tex> L = 0 </tex> и <tex> R = |s| - 1 </tex>. Таким образом часть бинарного поиска мы сделаем при сравнении нескольких <tex>\mathtt {lcp} </tex> между собой(каждое за <tex> O(1) </tex>), а если дойдет до сравнения символов, то любой символ <tex> p </tex> сравнивается не более одного раза(при сравнении мы берем <tex>\mathtt {max}</tex><tex>(l, r) </tex>, а значит никогда не возвращаемся назад). В самом начале мы посчитали <tex> l </tex> и <tex> r </tex> за <tex> O(p) </tex>. В итоге получаем сложность алгоритма <tex> O(p + log(s)) </tex>. Правда нужен предподсчет, чтобы можно было брать <tex>\mathtt {lcp} </tex> для двух любых суффиксов <tex> array </tex> за <tex> O(1) </tex>, начиная с позиции <tex> r </tex>. ===Рисунки=== Черная вертикальная линия на рисунке обозначает <tex>\mathtt {lcp} </tex> от <tex> i </tex>-го суффикса суффиксного массива <tex> array </tex> и образца <tex> p </tex>. Чем линия длиннее, тем совпадений символов больше.  <tex> L </tex>, <tex> M </tex> и <tex> R </tex> {{---}} то же самое, что в алгоритме. Кроме того, самая левая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает <tex> l </tex>, аналогично, самая правая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает <tex> r</tex>.  Переменная <tex> m_l </tex> {{---}} это <tex>\mathtt {lcp} </tex> в суффиксном массиве на промежутке <tex> [L, M] </tex>. Переменная <tex> m_r </tex> {{---}} это <tex>\mathtt {lcp} </tex> в суффиксном массиве на промежутке <tex> [M, R] </tex>.Серым цветом выделен <tex>\mathtt {lcp} </tex> в суффиксном массиве на рассматриваемом промежутке. Иллюстраци возможных случаев при <tex> l \geqslant r </tex>: [[Файл:left.png]] Иллюстрации возможных случаев при <tex> l < r </tex>: [[Файл:Right2.png]] ===Псевдокод===Массивы и строки нумеруются с нуля.  Сравнения <tex><_z , >_z , =_z , \leqslant_z , \geqslant_z </tex> означают лексикографическое сравнение двух строк по их первым <tex>z</tex> символам. Сравнения <tex>< , > , == , \leqslant , \geqslant </tex> при применении к строкам означают полное лексикографическое сравнение строк. Функция <tex>\mathtt {common(z,s, p)}</tex> ищет количество совпадений символов строк <tex>s</tex> и <tex>p</tex> начиная с позиции <tex>z</tex>.  <tex>n</tex> {{---}} длина строки <tex>s</tex>, <tex>w</tex> {{---}} длина строки <tex>p</tex>. В алгоритме используются переменные, введенные выше в данную строкуразделе "более быстрый поиск".  Поиск левой границы ответов <tex> answer </tex>_<tex>left</tex>.  '''function''' find_answer_left(p: '''String''', s: '''String'''): '''int''' l = '''lcp'''(p, s[array[0]]) r = '''lcp'''(p, s[array[n - 1]]) '''if''' (l == w or p < s[array[0]]) answer_left = 0 '''else''' '''if''' (p > s[array[n - 1]) answer_left = n '''else''' L = 0 R = n - 1 '''while''' (R - L > 1) '''do''' M = (L + R) / 2 m_l = '''lcp'''(array[L], array[M]) m_r = '''lcp'''(array[M], array[R]) '''if''' (l <tex>\geqslant</tex> r) '''if''' (m_l <tex>\geqslant</tex> l) m = l + '''common'''(l, s[array[M]], p) '''else''' m = m_l '''else''' '''if''' (m_r <tex>\geqslant</tex> r) m = r + '''common'''(r, s[array[M]], p) '''else''' m = m_r '''if''' (m == w || p <tex>\leqslant</tex><tex>_m</tex> s[array[M]]){ R = M r = m '''else''' L = M l = m answer_left = R == См. также ==* [[Алгоритм цифровой сортировки суффиксов циклической строки]]* [[Алгоритм Касаи и др.]]* [[Построение суффиксного массива с помощью стандартных методов сортировки]] ==Источники информации==* [http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/115346/ Habrahabr {{---}} Суффиксный массив {{---}} удобная замена суффиксного дерева] *U. Manber and G. Mayers. {{---}} "Suffix arrays: A new method for on-line string searches" [[Категория:Алгоритмы и структуры данных]][[Категория:Структуры данных]][[Категория:Суффиксный массив]]