Алгоритм Shift-Or — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Псевдокод)
(Перенаправление на Алгоритм Shift-And)
 
(не показано 9 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
В 1990ые годы Рикардо Беза-Йетс (англ. ''Ricardo Baeza-Yates'') и Гастон Гоннет (англ. ''Gaston Gonnet'') изобрели простой битовый метод, эффективно решающий задачу точного поиска малых образцов (длиной в типичное английское слово). Они назвали его методом <tex>Shift-Or</tex>, хотя, исходя из самого алгоритма, естественней назвать его <tex>Shift-And</tex>. Также алгоритм известен как <tex>bitap</tex> алгоритм и алгоритм Беза-Йетса-Гоннета.
+
#перенаправление [[Алгоритм Shift-And]]
 
 
==Алгоритм==
 
 
 
Пусть <tex>p</tex> {{---}} шаблон длины <tex>n</tex>, <tex>t</tex> {{---}} текст длины <tex>m</tex>.
 
 
 
Нам потребуется двоичный массив <tex>M</tex> размером <tex>n \cdot (m + 1)</tex>, в котором индекс <tex>i</tex> пробегает значения от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>, а индекс <tex>j</tex> {{---}} от <tex>0</tex> до <tex>m</tex>.
 
 
 
<tex>M[i][j] = 1</tex>, если первые <tex>i</tex> символов <tex>p</tex> точно совпадают с <tex>i</tex> символами <tex>t</tex>, кончаясь на позиции <tex>j</tex>; иначе <tex>M[i][j] = 0</tex>.
 
 
 
<tex> M[i][j] =
 
\left\{
 
\begin{array}{ll}
 
1, & \mbox {if p[1..i] = t[j - i + 1..j]} \\
 
0, & \mbox {otherwise}
 
\end{array}
 
\right.
 
</tex>
 
 
 
Например, пусть <tex>t = california</tex>, <tex>p = for</tex>. Тогда <tex>M[1][5] = M[2][6] = M[3][7] = 1</tex>, остальные <tex>M[i][j] = 0</tex>.
 
 
 
Получаем, что  элементы, равные <tex>1</tex>, в строчке <tex>i</tex> показывают все места в <tex>t</tex>, где заканчиватся копии <tex>p[1..i]</tex>, а столбец <tex>j</tex> показывает все префиксы <tex>p</tex>, которые заканчиваются в позиции <tex>j</tex> строки <tex>t</tex>.
 
<tex>M[n][j] = 1</tex> тогда, когда вхождение <tex>p</tex> заканчивается в позиции <tex>j</tex> строки <tex>t</tex>.
 
То есть вычисление последней строки <tex>M</tex> решает задачу точного совпадения.
 
 
Построение массива <tex>M</tex>.
 
 
 
Создадим для каждого символа алфавита <tex>x</tex> двоичный вектор <tex>U(x)</tex> длины <tex>n</tex>. <tex>U(x)</tex> равно <tex>1</tex> в тех позициях <tex>p</tex>, где стоит символ <tex>x</tex>.
 
Например, <tex>p = abacdeab</tex>, <tex>U(a) = 10100010</tex>
 
 
 
Определим <tex>Bit-Shift(j)</tex> как вектор, полученный сдвигом вектора для столбца <tex>j</tex> вниз на одну позицию и записью <tex>1</tex> в первой позиции. Старое значение в позиции <tex>n</tex> теряется.
 
То есть <tex>Bit-Shift(j)</tex> состоит из <tex>1</tex>, к которой приписаны первые <tex>n - 1</tex> битов столбца <tex>j</tex>.
 
<tex>(0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1) \rightarrow (1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0)</tex>
 
 
 
Из определения, нулевой столбец <tex>M</tex> состоит из нулей. Элементы любого другого столбца <tex>j > 0</tex> получаются из столбца <tex>j - 1</tex> и вектора <tex>U</tex> для символа <tex>t[j]</tex>. А именно, вектор для столбца <tex>j</tex> получается операцией побитового логического умножения <tex>and</tex> вектора <tex>Bit-Shift(j - 1)</tex> и вектора <tex>U(t[j])</tex>.
 
<tex>M[j] = Bit-Shift(j - 1)  and  U(t[j])</tex>
 
Например, …
 
 
 
==Псевдокод==
 
 
 
    int preSo(char *x, int m, unsigned int S[]) {
 
          unsigned int j, lim;
 
          int i;
 
          for (i = 0; i < ASIZE; ++i)
 
          S[i] = ~0;
 
          for (lim = i = 0, j = 1; i < m; ++i, j <<= 1) {
 
            S[x[i]] &= ~j;
 
            lim |= j;
 
          }
 
          lim = ~(lim>>1);
 
          return(lim);
 
    }
 
 
 
    void SO(char *x, int m, char *y, int n) {
 
          unsigned int lim, state;
 
          unsigned int S[ASIZE];
 
          int j;
 
          if (m > WORD)
 
              error("SO: Use pattern size <= word size");
 
          /* Preprocessing */
 
          lim = preSo(x, m, S);
 
          /* Searching */
 
          for (state = ~0, j = 0; j < n; ++j) {
 
              state = (state<<1) | S[y[j]];
 
              if (state < lim)
 
              OUTPUT(j - m + 1);
 
          }
 
    }
 
 
 
==Корректность==
 
Докажем, что метод <tex>Shift-Or</tex> правильно вычисляет элементы массива <tex>M</tex>. Заметим, что для любого <tex>i > 1</tex> элемент <tex>M[i][j] = 1</tex> тогда и только тогда, когда <tex>p[1..i - 1]</tex> совпадает с <tex>t[j - i + 1..j]</tex>, а символ <tex>p[i]</tex> совпадает с <tex>t[j]</tex>. Первое условие выполнено, когда элемент массива <tex>M[i - 1][j - 1] = 1</tex>, а второе — когда <tex>i</tex>-ый бит вектора <tex>U</tex> для символа <tex>t[j]</tex> равен <tex>1</tex>. После сдвига столбца <tex>j – 1</tex> алгоритм логически умножает элемент <tex>M[i – 1][j – 1]</tex> столбца <tex>j - 1</tex> на элемент <tex>i</tex> вектора <tex>U(t[j])</tex>. Следовательно, все элементы <tex>M</tex> вычисляются правильно и алгоритм находит все вхождения образца в текст.
 
 
 
==Эффективность==
 
Сложность алгоритма составляет <tex>O(n \cdot m)</tex>, на препроцессинг {{---}} построение массива <tex>U</tex> требуется <tex>O(|\Sigma| \cdot n)</tex> операций и памяти. Если же <tex>n</tex> не превышает длину машинного слова, то сложность получается <tex>O(m)</tex> и <tex>O(n + |\Sigma|)</tex> соответсвенно.
 

Текущая версия на 20:02, 8 июня 2014

Перенаправление на: