Альтернатива Фредгольма — Шаудера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «<tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывен на <tex>[0;1]^2</tex> <tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex> A — к...»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 73 промежуточные версии 17 участников)
Строка 1: Строка 1:
<tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывен на <tex>[0;1]^2</tex>
+
[[Базис Шаудера |<<]][[Теория Гильберта-Шмидта|>>]]
  
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>
+
__TOC__
  
A — комплексный оператор (<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>)
+
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.
  
Интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.
+
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.
  
 +
<tex>A \colon C[0;1] \to C[0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
  
 +
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.
  
X — B-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - a</tex>
+
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.
  
Задача: когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо?
+
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon X \to X</tex>, <tex> A </tex>  — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex>
  
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен I). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x, \frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, следовательно, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения x будут непрерывно зависеть от y. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае комплексного A ответ даёт теория Шаудера.
+
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?
  
Далее будем считать <tex>\lambda = 1</tex>. <tex>T = I - A,~Ker~T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро T — неподвижные точки A.
+
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (I - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| \leq \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.
<tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = Ker~T</tex> — подпространство X. <tex>dim~Ker~T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Но так как A — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в Y, но в бесконечномерном пространстве шар не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если A — компактный, то <tex>dim~Ker(I-A) < + \infty</tex>.
+
 
 +
Будем считать <tex> \lambda = 1 </tex>
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
 +
|proof=
 +
<tex>T = I - A</tex>
 +
 
 +
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.
 +
 
 +
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.
 +
 
 +
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \implies \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
 +
|proof=
 +
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\exists x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.
 +
 
 +
Пусть <tex>y \in R(T) \implies Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \implies T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \implies \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \implies x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.
 +
 
 +
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex>. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>.
 +
 
 +
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.
 +
 
 +
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.
 +
 
 +
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.
 +
 
 +
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n  </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.
 +
 
 +
Тогда получаем <tex> y_{n_k} = \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}}</tex>.
 +
 
 +
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_{n_k} \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.
 +
 
 +
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.
 +
 
 +
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex>
 +
 
 +
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.
 +
}}
 +
 
 +
Докажем теперь два утверждения.
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
 +
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
 +
|proof=
 +
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.
 +
 
 +
<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex>
 +
 
 +
Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.
 +
 
 +
<tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n) </tex>, тогда <tex> \dim M_n = \dim \operatorname{Ker} (I - A)^n = \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>.
 +
 
 +
Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.
 +
 
 +
Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго).
 +
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.
 +
 
 +
Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:
 +
 
 +
<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex>
 +
 
 +
Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.
 +
 
 +
<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
 +
 
 +
<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.
 +
 
 +
Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.
 +
 
 +
Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.
 +
 
 +
<tex> T^{n+p-1}(z) = T^{n+p}(x_{n+p}) + T^{n+p-1}(Ax_n) </tex>.
 +
 
 +
Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{n+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{n+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{n+p-1}) </tex>.
 +
 
 +
Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.
 +
 
 +
}}
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
 +
Тогда <tex> R(T) = X \iff \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
 +
|proof=
 +
<tex> \implies </tex>:
 +
 
 +
Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.
 +
 
 +
Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.
 +
 
 +
<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.
 +
 
 +
Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.
 +
 
 +
Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.
 +
 
 +
Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
 +
 
 +
<tex> \Longleftarrow </tex>:
 +
 
 +
Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
 +
 
 +
<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.
 +
 
 +
Тогда, применив первый пункт к <tex>T^*</tex>, получим <tex> \operatorname{Ker} T^* = \{0\} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.
 +
}}
 +
 
 +
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|about=
 +
альтернатива Фредгольма-Шаудера
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
 +
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
 +
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
 +
|proof=
 +
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, значит, он осуществляет биекцию, и так как ограничен, по [[Теорема Банаха об обратном операторе#banachhom|теореме Банаха о гомеоморфизме]], непрерывно обратим, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex>
 +
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex>. По [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> \operatorname{Cl} R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.
 +
}}
 +
 
 +
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==
 +
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.
 +
 
 +
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
 +
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.
 +
 
 +
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
 +
|proof=
 +
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.
 +
 
 +
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.
 +
 
 +
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.
 +
 
 +
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.
 +
 
 +
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.
 +
 
 +
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.
 +
 
 +
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.
 +
 
 +
 
 +
То что было в скобке обозначим за <tex>t</tex>.
 +
Тогда <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - t =\lambda_{n+p}(y_{n+p} - \frac{t}{\lambda_{n+p}})</tex> 
 +
Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - \frac{t}{\lambda_{n+p}}\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.
 +
 
 +
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.
 +
}}
 +
 
 +
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Текущая версия на 19:42, 4 сентября 2022

<<>>

Пусть [math]X = C[0;1][/math], [math]K(u,v)[/math] непрерывна на [math][0;1]^2[/math].

[math]A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1][/math].

[math]A \colon C[0;1] \to C[0;1][/math], [math] A [/math] — компактный оператор.

Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: [math]f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds[/math] в [math]C[0;1][/math].

Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.

Пусть [math]X[/math][math]B[/math]-пространство, [math]A \colon X \to X[/math], [math] A [/math] — компактный. [math]T = \lambda I - A[/math]

Ставим задачу: [math]y[/math] дано, когда [math]Tx=y[/math] разрешимо относительно [math]x[/math]?

[math]y = \lambda x - A x[/math] — операторные уравнения второго рода (явно выделен [math]I[/math]). Уравнения первого рода ([math]y=Bx[/math]) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: [math]y = \lambda x - A x = \lambda (I - \frac 1 \lambda A)x[/math]. Если [math]\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} \lt 1 [/math], то, по теореме Банаха, [math]I - \frac 1 \lambda A[/math] непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших [math]\lambda[/math], [math]y=\lambda x - A x[/math] разрешимо при любой левой части, причём решения [math]x[/math] будут непрерывно зависеть от [math]y[/math]. Интересна ситуация при [math]|\lambda| \leq \|A\|[/math]. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.

Будем считать [math] \lambda = 1 [/math]

Утверждение:
[math]A[/math] — компактный оператор. Тогда [math]\dim\operatorname{Ker}(I-A) \lt + \infty[/math]
[math]\triangleright[/math]

[math]T = I - A[/math]

[math]\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}[/math], таким образом, ядро [math]T[/math] — неподвижные точки [math]A[/math].

Пусть [math]\overline V[/math] — единичный шар, [math]Y = \operatorname{Ker}T[/math] — подпространство [math]X[/math].

Допустим, что [math]\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \implies \overline W = A \overline W[/math]. Так как [math]A[/math] — компактный, [math]\overline W[/math] — компакт в [math]Y[/math], но в бесконечномерном пространстве шар ([math]\overline W[/math] будет шаром в подпространстве [math]Y[/math]) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если [math]A[/math] — компактный, то [math]\dim\operatorname{Ker}(I-A) \lt + \infty[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]T = I - A[/math], [math]A[/math] компактен, тогда [math] R(T) [/math] замкнуто.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Ранее мы доказали, что если уравнение [math]Tx=y, y \in R(T)[/math] допускает априорную оценку ([math]\exists \alpha~\exists x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|[/math]), то [math]R(T)[/math] замкнуто. Нужно доказать, что у [math]T[/math] есть априорная оценка.

Пусть [math]y \in R(T) \implies Tx=y[/math]. Тогда [math]\forall z \in \operatorname{Ker}T \implies T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y[/math]. Значит, все решения уравнения [math]Tx=y[/math] записываются в форме [math]x=x_0+z[/math], где [math]x_0[/math] — одно из решений, [math]z[/math] принадлежит [math]\operatorname{Ker} T[/math]. Но [math]\dim\operatorname{Ker}T \lt + \infty \implies \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \implies x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}[/math].

Рассмотрим функцию от [math]n[/math] переменных [math]f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|[/math]. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение [math] x_0 [/math] элементами конечномерного [math] \operatorname{Ker} T [/math], теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют [math] \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)[/math].

[math]y \in R(T)[/math], среди всех решений уравнения [math]Tx=y[/math] существует решение с минимальной нормой. Его назовём [math]\widehat x[/math], и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через [math]y[/math].

Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность [math] y_n [/math] и [math] \widehat x_n [/math] (минимальных по норме решений с правой частью [math] x_n [/math]), таких, что [math] \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty [/math].

В силу линейности уравнения, можно выбрать [math] \widehat x_n [/math] с единичной нормой, тогда [math] \|y_n\| \to 0 [/math].

[math] T = I - A [/math], так как [math] \{ \widehat x_n \} [/math] ограничено и [math] A [/math] компактен, то из [math] z_n = A \widehat x_n [/math] можно выделить сходящуюся подпоследовательность [math] z_{n_{k}} \to z [/math].

Тогда получаем [math] y_{n_k} = \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}}[/math].

Но [math] y_n \to 0 [/math], значит, [math] \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_{n_k} \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x [/math].

То есть, [math] Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T [/math].

[math] T(\widehat x_n - z) = y_n [/math], но, так как мы выбирали минимальное по норме [math]\widehat x_n [/math], то [math] \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1[/math]

Получили, что [math] 0 \ge 1 [/math] — противоречие, значит, априорная оценка существует, [math] R(T) [/math] замкнуто, и теорема доказана.
[math]\triangleleft[/math]

Докажем теперь два утверждения.

Утверждение:
Пусть [math] M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N[/math], [math] A [/math] — компактный оператор. Тогда [math] \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} [/math].
[math]\triangleright[/math]

Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней [math] A [/math], получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.

[math] (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) [/math]

Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за [math] B [/math], [math] (I - A)^n = I - B [/math].

[math] M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n) [/math], тогда [math] \dim M_n = \dim \operatorname{Ker} (I - A)^n = \dim \operatorname{Ker} (I - B) \lt +\infty [/math].

Пусть [math] T = I - A [/math], [math] x \in M_n [/math] и [math] T^n(x) = 0 [/math], тогда [math] T^{n+1}(x) = T(0) = 0 [/math], то есть, [math] M_n \subset M_{n+1} [/math].

Допустим, что [math] \forall n: M_n \subset M_{n+1} [/math] (строго). [math] M_n [/math] — подпространство [math] X [/math].

Применим к паре подпространств [math] M_n, M_{n+1} [/math] лемму Рисса:

[math] \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 [/math]

Таким образом выстраиваем последовательность [math] x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 [/math].

[math] y_n = Ax_n [/math], из [math] y_n [/math] можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

[math] y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) [/math].

Обозначим сумму в скобках за [math] z [/math].

Заметим, что [math] z = T(x_{n+p}) + Ax_n [/math].

[math] T^{n+p-1}(z) = T^{n+p}(x_{n+p}) + T^{n+p-1}(Ax_n) [/math].

Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности [math] x_n [/math]. Второе же, так как операторы [math] T^{n+p-1} [/math] и [math] A [/math] коммутируют, равно [math] A(T^{n+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 [/math], и [math] z \in \operatorname{Ker}(T^{n+p-1}) [/math].

Но раз [math] z \in M_{n+p-1} [/math], то [math] \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 [/math], и [math] \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 [/math], чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из [math] y_n [/math] сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Пусть [math] A [/math] — компактный оператор на банаховом [math] X [/math], [math] T = I - A [/math]. Тогда [math] R(T) = X \iff \operatorname{Ker} T = \{0\} [/math].
[math]\triangleright[/math]

[math] \implies [/math]:

Пусть существует [math] x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 [/math].

Так как [math] R(T) = X [/math], то у уравнения [math] Tx = x_1 [/math] существует решение, обозначим его [math] x_2 [/math].

[math] T(Tx_2) = T(x_1) = 0 [/math], то есть, [math] x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 [/math].

Заметим, что [math] x_2 \notin N_1 [/math], в противном случае [math] x_1 = Tx_2 = 0 [/math], что противоречит нашему предположению.

Значит, [math] N_1 \subset N_2 [/math] (строго). Действуя аналогично, берем [math] x_3 [/math] решение уравнения — [math] Tx = x_2 [/math], [math] x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 [/math].

Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств [math] N_k [/math], существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, [math] \operatorname{Ker} T = \{0\} [/math].

[math] \Longleftarrow [/math]:

Пусть [math] \operatorname{Ker} T = \{0\} [/math].

[math] R(T) [/math] — замкнутое множество, [math] T^* = I - A^* [/math], [math] R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* [/math].

Тогда, применив первый пункт к [math]T^*[/math], получим [math] \operatorname{Ker} T^* = \{0\} [/math], и [math] R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Альтернатива Фредгольма-Шаудера

Теорема (альтернатива Фредгольма-Шаудера):
Пусть [math]A:X \to X[/math] — компактный оператор и [math]T = A - \lambda I[/math]. Тогда возможно только две ситуации:
  1. [math]\operatorname{Ker} T = \{0\}[/math], тогда [math] y = Tx[/math] разрешимо для любого [math]y[/math]
  2. [math]\operatorname{Ker} T \ne \{0\}[/math], тогда [math] y = Tx[/math] разрешимо только для тех [math]y[/math], которые принадлежат [math](\operatorname{Ker} T^*)^\perp[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  1. [math] \operatorname{Ker} T = \{0\} [/math], то есть [math] R(T) = X [/math], значит, он осуществляет биекцию, и так как ограничен, по теореме Банаха о гомеоморфизме, непрерывно обратим, тогда [math] y = Tx [/math] действительно разрешимо для всех [math] y [/math]
  2. [math] \operatorname{Ker} T \ne \{0\} [/math], по первой теореме этого параграфа, [math] R(T) = \operatorname{Cl} R(T) [/math]. По общим теоремам о сопряженном операторе, [math] \operatorname{Cl} R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp [/math]. Рассмотрим [math] y = Tx [/math], очевидно, оно разрешимо, когда [math] y \in R(T) [/math], то есть, [math] y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Теорема о счетности спектра компактного оператора

Рассмотрим [math]A - \lambda I[/math].

  1. [math]\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}[/math], тогда оператор необратим, и [math]\lambda[/math] — собственное число, то есть [math]\lambda \in \sigma(A)[/math].
  2. [math]\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}[/math], тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть [math]\lambda \in \rho(A)[/math].

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

Теорема:
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Так как спектр линейного ограниченного оператора входит в круг радиуса [math]\|A\|[/math], получаем [math]|\lambda| \in [0, \|A\|][/math].

Рассмотрим [math]\alpha \gt 0[/math], проверим, что на отрезке [math][\alpha,\|A\|][/math] — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность [math]\lambda_1 \dots \lambda_n \dots[/math] различных собственных значений (каждое из них больше [math]\alpha[/math]). Пусть им соответствуют собственные векторы [math]x_1 \dots x_n \dots[/math].

Покажем, что при любом [math]n[/math], собственные векторы [math]x_1 \dots x_n[/math] — линейно независимы, и что линейные оболочки [math]L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)[/math] и [math]L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})[/math] строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для [math]n=1[/math] — тривиально. Пусть [math]x_1 \dots x_n[/math] — ЛНЗ, покажем, что [math]x_1 \dots x_{n+1}[/math] — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть [math]x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i[/math]. Подействуем на обе части оператором [math]A[/math]: [math]Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i[/math]. Разделив обе части на [math]\lambda_{n + 1}[/math] (он ненулевой), получим другое разложение [math]x_{n+1}[/math] по векторам [math]x_1 \dots x_n[/math]: [math]x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i[/math]. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что [math]\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i[/math], здесь либо [math]\alpha_i[/math] нулевое, либо [math]\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1[/math]. Так как собственный вектор [math]x_{n+1}[/math] ненулевой, найдется такое [math]q[/math], что [math]\alpha_q \ne 0[/math], и тогда [math]\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1[/math], то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, [math]x_1 \dots x_{n+1}[/math] — ЛНЗ и включение [math]L_n \subset L_{n+1}[/math] — строгое.

Применим к цепи подпространств лемму Рисса о почти перпендикуляре: [math]\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12[/math]. Проделав такое для каждого [math]L_n[/math], получим последовательность [math]y_n[/math], заметим, что она ограничена 1.

Определим [math]z_n = A y_n[/math]. В силу компактности [math]A[/math] из [math]\{z_n\}[/math] можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на [math][\alpha,\|A\|][/math] бесконечное количество точек.

Составим разность [math]z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)[/math]. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит [math]L_{n+p-1}[/math].

[math]\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}[/math]. [math]L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}[/math]. [math]y_{n+p} \in L_{n+p}[/math], [math]y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}[/math]. Подействуем A: [math]A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} [/math]. Разность [math]\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}[/math]. [math]y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}[/math] и, следовательно, [math]\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n[/math] принадлежит [math]L_{n+p-1}[/math].


То что было в скобке обозначим за [math]t[/math]. Тогда [math]z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - t =\lambda_{n+p}(y_{n+p} - \frac{t}{\lambda_{n+p}})[/math] Получаем: [math]\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - \frac{t}{\lambda_{n+p}}\|[/math], где первый множитель не меньше [math]\alpha[/math], а второй — [math]\frac 1 2[/math] (по построению [math]y_n[/math]) , в итоге [math]\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}[/math] и, значит, из [math]\{z_n\}[/math] не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке [math][\alpha, \|A\|][/math] действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.

Осталось проверить, что только [math]0[/math] может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то [math]\lambda \ne 0[/math] — предельная точка, это означает, что для любого [math]\forall \varepsilon: 0 \lt \varepsilon \lt \frac{\lambda}{2}[/math], во множестве [math][\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon][/math] содержится собственное число, то есть в отрезке [math][\frac{\lambda}{2}, \|A\|][/math] содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.
[math]\triangleleft[/math]