Асимптотика гипергеометрических последовательностей — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м
 
(не показано 47 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=def1.
 
|id=def1.
|definition=Пусть у нас есть последовательность, отношение соседних членов которой равно отношению
+
|definition=
двух многочленов одинаковой степени. Если же степени многочленов больше нуля, то соответствующую последовательность называют '''гипергеометрической'''.
+
Последовательность, в которой отношение двух соседних членов равно отношению многочленов <tex>A(n)</tex> степени <tex>k</tex>, где <tex>k > 0</tex> и <tex>n</tex> - порядковый номер члена последовательности, называется '''гипергеометрической''' (англ. ''hypergeometric sequence'').
 
}}
 
}}
  
Строка 9: Строка 9:
 
|id=lemma1.  
 
|id=lemma1.  
 
|statement=
 
|statement=
Пусть последовательность <tex>a_0,a_1,...</tex> положительных чисел такова, что <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=A\frac{n^k+\alpha_1 n^{k-1}+...+\alpha_k}{n^k+\beta_1 n^{k-1}+...+\beta_k}(4.1)</tex> для всех достаточно больших n, причем <tex>\alpha_1 \ne \beta_1</tex>. Тогда <tex>a_n</tex> растет как <tex>a_n \sim cA^n n^{\alpha_1-\beta_1}(4.2)</tex> для некоторой постоянной <tex>c>0</tex>.
+
Пусть последовательность <tex>a_0, a_1, \ldots</tex> положительных чисел такова, что <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=A\cfrac{n^k + \alpha_1 \cdot n^{k-1} + \ldots + \alpha_k}{n^k+ \beta_1 \cdot n^{k-1}+ \ldots +\beta_k}</tex> для всех достаточно больших <tex>n</tex>, причем <tex>\alpha_1 \ne \beta_1</tex>. Тогда <tex>a_n</tex> растет как <tex>a_n \sim c \cdot A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> для некоторой постоянной <tex>c>0</tex>.
 +
<br>
 +
'''Замечание:''' Предположения леммы не позволяют определить величину константы <tex>c</tex>. Действительно, умножив последовательность <tex>a_n</tex> на произвольную постоянную <tex>d > 0</tex>, мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа <tex>c</tex> для которой увеличивается в <tex>d</tex> раз.
 +
 
 
|proof=
 
|proof=
Утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел <tex>\lim {\frac{a_n}{A^n n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. <br> Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела <tex>\lim_{n \to \infty} \ln {a_n} - n \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln n</tex>.
+
Рассмотрим предел <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. При <tex>a_n \sim c \cdot A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> для некоторого <tex>c</tex> данный предел будет существовать и равен <tex>c</tex>. С другой стороны, из определения существования предела<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Предел числовой последовательности]</ref> на бесконечности следует, что он равен некоторому <tex>c</tex>, то есть <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}} = c</tex>. Из чего можно сделать вывод, что утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. <br> Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {( \ln {a_n} - n \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln n )}</tex>.
  
Для доказательства существования предела (4.5) применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C Фундаментальная последовательность]</ref>. Фундаментальность последовательности означает, что для любого <tex>\epsilon>0</tex> существует такой номер N, что для всех n > N и всех положительных m
+
Для доказательства существования предела применим критерий Коши<ref>[http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m0509.html Критерий Коши]</ref>, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C Фундаментальная последовательность]</ref>.  
 +
 
 +
Перепишем отношение <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}</tex> в виде
 +
 
 +
<tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=A \cdot \cfrac{1 + \alpha_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \alpha_k \cdot n^{-k}}{1 + \beta_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \beta_k \cdot n^{-k}}=A \cdot f\left(\cfrac{1}{n}\right)</tex>,
 +
 
 +
где
  
<tex>|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - (n+m)\ln A + n\ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln(n+m)+(\alpha_1-\beta_1)\ln n|<\epsilon</tex>,
+
<tex>f(x)=\cfrac{1 + \alpha_1 \cdot x + \ldots + \alpha_k \cdot x^k}{1 + \beta_1 \cdot x + \ldots + \beta_k \cdot x^k}</tex>
  
или
+
Прологарифмировав отношение <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}</tex>, получаем
  
<tex>|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - m\ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln(n+m)+(\alpha_1-\beta_1)\ln n|<\epsilon</tex>.
+
<tex>\ln a_{n+1} - \ln a_n = \ln A + \ln f\left(\cfrac{1}{n}\right)</tex>.
  
Перепишем отношение <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}</tex> в виде
+
Посмотрим на функцию <tex>\ln f(x)</tex>. Выпишем начальные члены разложения функции <tex>f</tex> в ряд в точке <tex>0</tex>:
  
<tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=A\frac{1+\alpha_1 n^{-1}+...+\alpha_k n^{-k}}{1+\beta_1 n^{-1}+...+\beta_k n^{-k}}=Af(\frac{1}{n})</tex>,
+
<tex>f(x)=1 + (\alpha_1 - \beta_1) \cdot x + \gamma \cdot x^2 + \ldots </tex> для некоторой константы <tex>\gamma</tex>. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент <tex>\alpha_1 - \beta_1</tex>(отличный от нуля по предположению леммы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя <tex>n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> в асимптотике. Для логарифма функции <tex>f</tex> имеем
  
где
+
<tex>\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1) \cdot x+\tilde{\gamma} \cdot x^2 + \ldots</tex>
  
<tex>f(x)=\frac{1+\alpha_1 x+...+\alpha_k x^k}{1+\beta_1 x+...+\beta_k x^k}</tex>
+
Поэтому для некоторой постоянной <tex>C</tex> при достаточно маленьком <tex>x</tex> имеем <tex>|\ln f(x) - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot x|<C \cdot x^2</tex>. В частности, если <tex>N</tex> достаточно велико, то <tex>&forall; n>N</tex> получаем систему <tex>(*)</tex>
  
Прологарифмировав (4.7), получаем
+
<tex>
 +
\begin{equation*}
 +
\begin{cases}
 +
  \left| \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n} \right| < C \cdot \cfrac{1}{n^2}, \\
  
<tex>\ln a_{n+1} - \ln a_n = \ln A + \ln f(\frac{1}{n})</tex>.
+
  \left| \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1}  - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+1} \right| < C \cdot \cfrac{1}{(n+1)^2}, \\
  
Посмотрим на функцию <tex>\ln f(x)</tex>. Выпишем начальные члены разложения функции f, определенной формулой (4.8), в ряд в точке 0:
+
  \ldots \\
  
<tex>f(x)=1+(\alpha_1-\beta_1)x+\gamma x^2+...</tex> для некоторой константы <tex>\gamma</tex>. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент <tex>\alpha_1 - \beta_1</tex>(отличный от нуля по предположению теоремы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя <tex>n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> в асимптотике. Для логарифма функции f имеем <tex>\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1)x+\tilde{\gamma}x^2+...</tex>. Поэтому для некоторой постоянной C при достаточно маленьком x имеем <tex>|\ln f(x) = (\alpha_1 - \beta_1)x|<Cx^2</tex>. В частности, если N достаточно велико, то <tex>&forall; n>N</tex>
+
  \left| \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+m} \right| < C \cdot \cfrac{1}{(n+m)^2}. \\
 +
\end{cases}
 +
\end{equation*}
 +
</tex>
  
<tex>|\ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n}|<C \frac{1}{n^2}</tex>,
+
Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства <tex>|\ln a_{n+m} - \ln a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln {(n + m)} + (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln n| < &epsilon; </tex> можно оценить с помощью системы <tex>(*)</tex> и неравенства треугольника<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Неравенство треугольника]</ref>:
  
<tex>|\ln a_{n+2} - \ln a_{n+1}  - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+1}|<C \frac{1}{(n+1)^2}</tex>,
+
<tex>\left| \ln a_{n+m} - \ln a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot ( \ln {(n+m)} - \ln n) \right| =</tex>
  
<tex>........</tex>
+
<tex>= | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - \ldots + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \cdot \ln A - </tex>
  
<tex>|\ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}|<C \frac{1}{(n+m)^2}</tex>.
+
<tex> - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot (\ln {(n+m)} - \ln n) \Bigg| \leqslant</tex>
  
Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства (4.6) можно оценить с помощью системы (4.10) и неравенства треугольника:
+
<tex>\leqslant \left| \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n} \right| + \left| \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+1} \right| +</tex>
  
<tex>| \ln a_{n+m} - \ln a_n - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)( \ln {n+m} - \ln n)| =</tex>
+
<tex>\ldots</tex>
  
<tex>= | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - \cdots + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \ln A - </tex>
+
<tex>+ \left| \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+m} \right| + \left| \alpha_1 - \beta_1 \right| \cdot \left| \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n \right| \leqslant</tex>
  
<tex> - (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1)(\ln {n+m} - \ln n)| \le</tex>
+
<tex>\leqslant C \cdot \left(\cfrac{1}{n^2} + \cfrac{1}{(n+1)^2} + \ldots + \cfrac{1}{(n+m-1)^2}\right) + \left| \alpha_1 - \beta_1 \right| \cdot \left| \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n \right|</tex>.
  
<tex>\le | \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n} | + | \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+1}| + \cdots + </tex>
+
Поскольку ряд <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k^2}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших <tex>n</tex> можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\cfrac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n+m]</tex>,
  
<tex>+ | \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}| + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {n+m} + \ln n | \le</tex>
+
[[Файл:InkedOiGdtVITsP10_LI.jpg|350px|thumb|right|График функции <tex>y = \cfrac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n + m]</tex>]]
  
<tex>\le C(\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \cdots + \frac{1}{(n+m-1)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {n+m} + \ln n |</tex>.
 
  
Поскольку ряд <tex>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших n можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\frac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n+m]</tex>,
+
(Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>, наибольшее целое число, не превосходящее <tex>x</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x}</tex>, но меньше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x-1}</tex> на этом же отрезке. Площадь под графиком функции <tex>\cfrac {1}{x}</tex> равна <tex>\ln {(n + m)} - \ln {n}</tex>, площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x-1}</tex> равна <tex>\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит <tex>\left| (\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}) - \left( \ln {(n+m)} - \ln n \right) \right| =</tex>
  
[[Файл:InkedOiGdtVITsP10_LI.jpg|300px|center]]
+
<tex>= \left| \ln {\cfrac {n+m-1}{n+m} - \ln {\cfrac {n-1}{n}}} \right| = </tex>
  
 +
<tex>= \left| \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n+m}\right)} - \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n}\right)} \right| <</tex>
  
(Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>, наибольшее целое число, не превосходящее <tex>x</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \frac{1}{x}</tex>, но меньше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \frac{1}{x-1}</tex> равна <tex>\ln {n+m-1} - \ln {n - 1}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит <tex>|(\ln {n+m-1} - \ln {n-1}) - (- \ln {n+m} + \ln n)| = | \ln {1 - \frac{1}{n+m}} - \ln {1 - \frac{1}{n}}| < |\ln {1 - \frac{1}{n}}| < C \frac{1}{n}</tex>.
+
<tex>< \left| \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n}\right)} \right| < C \cdot \cfrac{1}{n}</tex>.
 
}}
 
}}
  
'''Замечание:''' Предположения леммы не позволяют определить величину константы c. Действительно, умножив последовательность an на произвольную постоянную d > 0, мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа c для которой увеличивается в d раз
+
== Примеры ==
 +
'''Пример.''' Рассмотрим производящую функцию для [[Числа Каталана|чисел Каталана]]
 +
 
 +
<tex>A(s) = 1 + s + 2 \cdot s^2 + 5 \cdot s^3 + \ldots </tex>
 +
 
 +
Возведя ее в квадрат и умножив результат на s, получим
 +
 
 +
<tex>s \cdot A^2(s) = s + 2 \cdot s^2 + 5 \cdot s^3 + 14 \cdot s^4 + \ldots = A(s) - 1</tex>,
 +
 
 +
что дает нам квадратное уравнение на производящую функцию
 +
 
 +
<tex>s \cdot A^2(s) - A(s) + 1 = 0,</tex>
 +
 
 +
откуда
 +
 
 +
<tex>A(s) = \cfrac {1 - \sqrt {1 - 4 \cdot s}}{2 \cdot s}</tex>
 +
 
 +
Второй корень уравнения отбрасывается, так как <tex>\cfrac {1 + \sqrt {1 - 4 \cdot s}}{2 \cdot s} = \cfrac {1}{s} + \ldots</tex> содержит отрицательные степени <tex>s</tex>
 +
 
 +
Найденная производящая функция позволяет найти явную форму для [[Числа Каталана|чисел Каталана]]. Согласно биному Ньютона <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0 Бином Ньютона]</ref>
  
== Примеры ==
+
<tex>a_n = \cfrac {\cfrac {1}{2} \cdot \cfrac {1}{2} \cdot \cfrac {3}{2} \cdot \ldots \cdot \cfrac {2 \cdot n - 1}{2} \cdot 4^{n + 1}}{2 \cdot (n + 1)!},</tex>
'''Пример.''' Для [[Числа Каталана|чисел Каталана]] имеем
+
 
 +
откуда, умножая на числитель и знаменатель на <tex>n!</tex> и сокращая на <tex>2^{n + 1}</tex>, получаем
 +
 
 +
<tex>a_n = \cfrac {(2 \cdot n)!}{n! \cdot (n + 1)!} = \cfrac {1}{n + 1} \cdot \dbinom {2 \cdot n}{n}</tex>
 +
 
 +
Последняя формула дает и более простое рекурсивное соотношение для [[Числа Каталана|чисел Каталана]]:
  
<tex>\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{4n+2}{n+2}=4\frac{n+\frac{1}{2}}{n+2}</tex>
+
<tex>\cfrac{c_{n+1}}{c_n}=\cfrac{4 \cdot n + 2}{n+2}=4 \cdot \cfrac{ n + \cfrac{1}{2}}{n+2}</tex>
  
Поэтому <tex>c_n \sim c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}</tex> для некоторой постоянной c.
+
Поэтому <tex>c_n \sim c \cdot 4^n \cdot n^{-\dfrac{3}{2}}</tex> для некоторой постоянной <tex>c</tex>.
  
 
'''Пример.''' Найдем асимптотику коэффициентов для функции <tex>(a-s)^{\alpha}</tex>, где <tex>\alpha</tex> вещественно. В ряде случаев эта асимптотика нам
 
'''Пример.''' Найдем асимптотику коэффициентов для функции <tex>(a-s)^{\alpha}</tex>, где <tex>\alpha</tex> вещественно. В ряде случаев эта асимптотика нам
 
уже известна, например, при <tex>\alpha=−1</tex>. Согласно определению функции <tex>(1-s)^{\alpha}</tex> имеем  
 
уже известна, например, при <tex>\alpha=−1</tex>. Согласно определению функции <tex>(1-s)^{\alpha}</tex> имеем  
  
<tex>(a-s)^{\alpha}=a^{\alpha}(1-\frac{s}{a})^{\alpha}=a^{\alpha}(1 - \frac{\alpha}{1!} \frac{s}{a} + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}{(\frac{s}{a})^2} - \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}(\frac{s}{a})^3+...)</tex>.
+
<tex>(a-s)^{\alpha}=a^{\alpha} \cdot \left(1-\cfrac{s}{a}\right)^{\alpha}=a^{\alpha} \cdot \left(1 - \cfrac{\alpha}{1!} \cdot \cfrac{s}{a} + \cfrac{\alpha \cdot (\alpha-1)}{2!} \cdot {\left(\cfrac{s}{a}\right)^2} - \cfrac{\alpha \cdot (\alpha-1) \cdot (\alpha-2)}{3!} \cdot \left(\cfrac{s}{a}\right)^3 + \ldots \right)</tex>
  
Если <tex>\alpha</tex> — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае начиная с некоторого номера все коэффициенты ряда имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться предыдущей леммой при <tex>a_n=(-1)^n \frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!{\alpha}^n}</tex>
+
Если <tex>\alpha</tex> — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае, начиная с некоторого номера, все коэффициенты ряда имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться леммой при <tex>a_n=(-1)^n \cdot \cfrac{\alpha \cdot (\alpha-1) \cdot \ldots \cdot (\alpha-n+1)}{n! \cdot {\alpha}^n}:</tex>
  
<tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{a} \frac{n-\alpha}{n+1}</tex>
+
<tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{1}{a} \cdot \cfrac{n-\alpha}{n+1}</tex>
  
Поэтому <tex>a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}</tex>. Например, коэффициенты функции <tex>-(1-4s)^{\frac{1}{2}}</tex> ведут себя как <tex>c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}</tex>, и мы получаем повторный вывод ассимптотики для [[Числа Каталана|чисел Каталана]].
+
Поэтому <tex>a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}</tex>. Например, коэффициенты функции <tex>-(1-4 \cdot s)^{\dfrac{1}{2}}</tex> ведут себя как <tex>c \cdot 4^n \cdot n^{-\dfrac{3}{2}}</tex>, и мы получаем повторный вывод ассимптотики для [[Числа Каталана|чисел Каталана]].
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
  
 
* [[Производящая функция]]
 
* [[Производящая функция]]
 +
* [[Числа Каталана]]
  
 
==Примечания==
 
==Примечания==

Текущая версия на 16:26, 11 июня 2018

Определение:
Последовательность, в которой отношение двух соседних членов равно отношению многочленов [math]A(n)[/math] степени [math]k[/math], где [math]k \gt 0[/math] и [math]n[/math] - порядковый номер члена последовательности, называется гипергеометрической (англ. hypergeometric sequence).


Вычисление асимптотики[править]

Лемма:
Пусть последовательность [math]a_0, a_1, \ldots[/math] положительных чисел такова, что [math]\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=A\cfrac{n^k + \alpha_1 \cdot n^{k-1} + \ldots + \alpha_k}{n^k+ \beta_1 \cdot n^{k-1}+ \ldots +\beta_k}[/math] для всех достаточно больших [math]n[/math], причем [math]\alpha_1 \ne \beta_1[/math]. Тогда [math]a_n[/math] растет как [math]a_n \sim c \cdot A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}[/math] для некоторой постоянной [math]c\gt 0[/math].


Замечание: Предположения леммы не позволяют определить величину константы [math]c[/math]. Действительно, умножив последовательность [math]a_n[/math] на произвольную постоянную [math]d \gt 0[/math], мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа [math]c[/math] для которой увеличивается в [math]d[/math] раз.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим предел [math]\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}[/math]. При [math]a_n \sim c \cdot A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}[/math] для некоторого [math]c[/math] данный предел будет существовать и равен [math]c[/math]. С другой стороны, из определения существования предела[1] на бесконечности следует, что он равен некоторому [math]c[/math], то есть [math]\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}} = c[/math]. Из чего можно сделать вывод, что утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел [math]\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}[/math].
Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела [math]\lim\limits_{n \to \infty} {( \ln {a_n} - n \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln n )}[/math].

Для доказательства существования предела применим критерий Коши[2], т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна[3].

Перепишем отношение [math]\cfrac{a_{n+1}}{a_n}[/math] в виде

[math]\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=A \cdot \cfrac{1 + \alpha_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \alpha_k \cdot n^{-k}}{1 + \beta_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \beta_k \cdot n^{-k}}=A \cdot f\left(\cfrac{1}{n}\right)[/math],

где

[math]f(x)=\cfrac{1 + \alpha_1 \cdot x + \ldots + \alpha_k \cdot x^k}{1 + \beta_1 \cdot x + \ldots + \beta_k \cdot x^k}[/math]

Прологарифмировав отношение [math]\cfrac{a_{n+1}}{a_n}[/math], получаем

[math]\ln a_{n+1} - \ln a_n = \ln A + \ln f\left(\cfrac{1}{n}\right)[/math].

Посмотрим на функцию [math]\ln f(x)[/math]. Выпишем начальные члены разложения функции [math]f[/math] в ряд в точке [math]0[/math]:

[math]f(x)=1 + (\alpha_1 - \beta_1) \cdot x + \gamma \cdot x^2 + \ldots [/math] для некоторой константы [math]\gamma[/math]. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент [math]\alpha_1 - \beta_1[/math](отличный от нуля по предположению леммы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя [math]n^{\alpha_1-\beta_1}[/math] в асимптотике. Для логарифма функции [math]f[/math] имеем

[math]\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1) \cdot x+\tilde{\gamma} \cdot x^2 + \ldots[/math]

Поэтому для некоторой постоянной [math]C[/math] при достаточно маленьком [math]x[/math] имеем [math]|\ln f(x) - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot x|\lt C \cdot x^2[/math]. В частности, если [math]N[/math] достаточно велико, то [math]∀ n\gt N[/math] получаем систему [math](*)[/math]

[math] \begin{equation*} \begin{cases} \left| \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n} \right| \lt C \cdot \cfrac{1}{n^2}, \\ \left| \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+1} \right| \lt C \cdot \cfrac{1}{(n+1)^2}, \\ \ldots \\ \left| \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+m} \right| \lt C \cdot \cfrac{1}{(n+m)^2}. \\ \end{cases} \end{equation*} [/math]

Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства [math]|\ln a_{n+m} - \ln a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln {(n + m)} + (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln n| \lt ε [/math] можно оценить с помощью системы [math](*)[/math] и неравенства треугольника[4]:

[math]\left| \ln a_{n+m} - \ln a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot ( \ln {(n+m)} - \ln n) \right| =[/math]

[math]= | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - \ldots + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \cdot \ln A - [/math]

[math] - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot (\ln {(n+m)} - \ln n) \Bigg| \leqslant[/math]

[math]\leqslant \left| \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n} \right| + \left| \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+1} \right| +[/math]

[math]\ldots[/math]

[math]+ \left| \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+m} \right| + \left| \alpha_1 - \beta_1 \right| \cdot \left| \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n \right| \leqslant[/math]

[math]\leqslant C \cdot \left(\cfrac{1}{n^2} + \cfrac{1}{(n+1)^2} + \ldots + \cfrac{1}{(n+m-1)^2}\right) + \left| \alpha_1 - \beta_1 \right| \cdot \left| \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n \right|[/math].

Поскольку ряд [math]\sum\limits_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k^2}[/math] сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших [math]n[/math] можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции [math]\cfrac{1}{[x]}[/math] на отрезке [math][n, n+m][/math],

График функции [math]y = \cfrac{1}{[x]}[/math] на отрезке [math][n, n + m][/math]


(Здесь через [math][x][/math] обозначена целая часть числа [math]x[/math], наибольшее целое число, не превосходящее [math]x[/math].) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции [math]y = \cfrac{1}{x}[/math], но меньше, чем площадь под графиком функции [math]y = \cfrac{1}{x-1}[/math] на этом же отрезке. Площадь под графиком функции [math]\cfrac {1}{x}[/math] равна [math]\ln {(n + m)} - \ln {n}[/math], площадь под графиком функции [math]y = \cfrac{1}{x-1}[/math] равна [math]\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}[/math]. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит [math]\left| (\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}) - \left( \ln {(n+m)} - \ln n \right) \right| =[/math]

[math]= \left| \ln {\cfrac {n+m-1}{n+m} - \ln {\cfrac {n-1}{n}}} \right| = [/math]

[math]= \left| \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n+m}\right)} - \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n}\right)} \right| \lt [/math]

[math]\lt \left| \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n}\right)} \right| \lt C \cdot \cfrac{1}{n}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Примеры[править]

Пример. Рассмотрим производящую функцию для чисел Каталана

[math]A(s) = 1 + s + 2 \cdot s^2 + 5 \cdot s^3 + \ldots [/math]

Возведя ее в квадрат и умножив результат на s, получим

[math]s \cdot A^2(s) = s + 2 \cdot s^2 + 5 \cdot s^3 + 14 \cdot s^4 + \ldots = A(s) - 1[/math],

что дает нам квадратное уравнение на производящую функцию

[math]s \cdot A^2(s) - A(s) + 1 = 0,[/math]

откуда

[math]A(s) = \cfrac {1 - \sqrt {1 - 4 \cdot s}}{2 \cdot s}[/math]

Второй корень уравнения отбрасывается, так как [math]\cfrac {1 + \sqrt {1 - 4 \cdot s}}{2 \cdot s} = \cfrac {1}{s} + \ldots[/math] содержит отрицательные степени [math]s[/math]

Найденная производящая функция позволяет найти явную форму для чисел Каталана. Согласно биному Ньютона [5]

[math]a_n = \cfrac {\cfrac {1}{2} \cdot \cfrac {1}{2} \cdot \cfrac {3}{2} \cdot \ldots \cdot \cfrac {2 \cdot n - 1}{2} \cdot 4^{n + 1}}{2 \cdot (n + 1)!},[/math]

откуда, умножая на числитель и знаменатель на [math]n![/math] и сокращая на [math]2^{n + 1}[/math], получаем

[math]a_n = \cfrac {(2 \cdot n)!}{n! \cdot (n + 1)!} = \cfrac {1}{n + 1} \cdot \dbinom {2 \cdot n}{n}[/math]

Последняя формула дает и более простое рекурсивное соотношение для чисел Каталана:

[math]\cfrac{c_{n+1}}{c_n}=\cfrac{4 \cdot n + 2}{n+2}=4 \cdot \cfrac{ n + \cfrac{1}{2}}{n+2}[/math]

Поэтому [math]c_n \sim c \cdot 4^n \cdot n^{-\dfrac{3}{2}}[/math] для некоторой постоянной [math]c[/math].

Пример. Найдем асимптотику коэффициентов для функции [math](a-s)^{\alpha}[/math], где [math]\alpha[/math] вещественно. В ряде случаев эта асимптотика нам уже известна, например, при [math]\alpha=−1[/math]. Согласно определению функции [math](1-s)^{\alpha}[/math] имеем

[math](a-s)^{\alpha}=a^{\alpha} \cdot \left(1-\cfrac{s}{a}\right)^{\alpha}=a^{\alpha} \cdot \left(1 - \cfrac{\alpha}{1!} \cdot \cfrac{s}{a} + \cfrac{\alpha \cdot (\alpha-1)}{2!} \cdot {\left(\cfrac{s}{a}\right)^2} - \cfrac{\alpha \cdot (\alpha-1) \cdot (\alpha-2)}{3!} \cdot \left(\cfrac{s}{a}\right)^3 + \ldots \right)[/math]

Если [math]\alpha[/math] — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае, начиная с некоторого номера, все коэффициенты ряда имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться леммой при [math]a_n=(-1)^n \cdot \cfrac{\alpha \cdot (\alpha-1) \cdot \ldots \cdot (\alpha-n+1)}{n! \cdot {\alpha}^n}:[/math]

[math]\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{1}{a} \cdot \cfrac{n-\alpha}{n+1}[/math]

Поэтому [math]a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}[/math]. Например, коэффициенты функции [math]-(1-4 \cdot s)^{\dfrac{1}{2}}[/math] ведут себя как [math]c \cdot 4^n \cdot n^{-\dfrac{3}{2}}[/math], и мы получаем повторный вывод ассимптотики для чисел Каталана.

См. также[править]

Примечания[править]

Источники информации[править]