Асимптотика гипергеометрических последовательностей — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м
Строка 11: Строка 11:
 
Пусть последовательность <tex>a_0, a_1, \ldots</tex> положительных чисел такова, что <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=A\cfrac{n^k+\alpha_1 n^{k-1}+ \ldots +\alpha_k}{n^k+\beta_1 n^{k-1}+ \ldots +\beta_k}</tex> для всех достаточно больших <tex>n</tex>, причем <tex>\alpha_1 \ne \beta_1</tex>. Тогда <tex>a_n</tex> растет как <tex>a_n \sim cA^n n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> для некоторой постоянной <tex>c>0</tex>.
 
Пусть последовательность <tex>a_0, a_1, \ldots</tex> положительных чисел такова, что <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=A\cfrac{n^k+\alpha_1 n^{k-1}+ \ldots +\alpha_k}{n^k+\beta_1 n^{k-1}+ \ldots +\beta_k}</tex> для всех достаточно больших <tex>n</tex>, причем <tex>\alpha_1 \ne \beta_1</tex>. Тогда <tex>a_n</tex> растет как <tex>a_n \sim cA^n n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> для некоторой постоянной <tex>c>0</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. <br> Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела <tex>\lim\limits_{n \to \infty} { \ln {a_n} - n \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln n }</tex>.
+
Утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. <br> Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {( \ln {a_n} - n \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln n )}</tex>.
  
 
Для доказательства существования предела применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C Фундаментальная последовательность]</ref>. Фундаментальность последовательности означает, что для любого <tex>&epsilon; > 0</tex> существует такой номер <tex>N</tex>, что для всех <tex>n > N</tex> и всех положительных <tex>m</tex>
 
Для доказательства существования предела применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C Фундаментальная последовательность]</ref>. Фундаментальность последовательности означает, что для любого <tex>&epsilon; > 0</tex> существует такой номер <tex>N</tex>, что для всех <tex>n > N</tex> и всех положительных <tex>m</tex>
Строка 35: Строка 35:
 
Посмотрим на функцию <tex>\ln f(x)</tex>. Выпишем начальные члены разложения функции <tex>f</tex> в ряд в точке <tex>0</tex>:
 
Посмотрим на функцию <tex>\ln f(x)</tex>. Выпишем начальные члены разложения функции <tex>f</tex> в ряд в точке <tex>0</tex>:
  
<tex>f(x)=1 + (\alpha_1 - \beta_1)x + \gamma x^2 + \ldots</tex> для некоторой константы <tex>\gamma</tex>. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент <tex>\alpha_1 - \beta_1</tex>(отличный от нуля по предположению леммы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя <tex>n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> в асимптотике. Для логарифма функции <tex>f</tex> имеем  
+
<tex>f(x)=1 + (\alpha_1 - \beta_1)x + \gamma x^2 + \ldots </tex> для некоторой константы <tex>\gamma</tex>. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент <tex>\alpha_1 - \beta_1</tex>(отличный от нуля по предположению леммы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя <tex>n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> в асимптотике. Для логарифма функции <tex>f</tex> имеем  
  
 
<tex>\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1)x+\tilde{\gamma}x^2 + \ldots</tex>  
 
<tex>\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1)x+\tilde{\gamma}x^2 + \ldots</tex>  
Строка 61: Строка 61:
 
<tex>\ldots</tex>
 
<tex>\ldots</tex>
  
<tex>+ | \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cfrac{1}{n+m}| + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n | \leqslant</tex>
+
<tex>+ | \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cfrac{1}{n+m}| + | \alpha_1 - \beta_1 | \cdot | \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n | \leqslant</tex>
  
<tex>\leqslant C(\cfrac{1}{n^2} + \cfrac{1}{(n+1)^2} + \ldots + \cfrac{1}{(n+m-1)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n |</tex>.
+
<tex>\leqslant C(\cfrac{1}{n^2} + \cfrac{1}{(n+1)^2} + \ldots + \cfrac{1}{(n+m-1)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | \cdot | \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n |</tex>.
  
 
Поскольку ряд <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k^2}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших <tex>n</tex> можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\cfrac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n+m]</tex>,  
 
Поскольку ряд <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k^2}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших <tex>n</tex> можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\cfrac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n+m]</tex>,  
Строка 78: Строка 78:
 
'''Пример.''' Для [[Числа Каталана|чисел Каталана]] имеем
 
'''Пример.''' Для [[Числа Каталана|чисел Каталана]] имеем
  
<tex>\cfrac{c_{n+1}}{c_n}=\cfrac{4n+2}{n+2}=4\cfrac{n+\cfrac{1}{2}}{n+2}</tex>
+
<tex>\cfrac{c_{n+1}}{c_n}=\cfrac{4n+2}{n+2}=4\cfrac{n+\frac{1}{2}}{n+2}</tex>
  
Поэтому <tex>c_n \sim c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}</tex> для некоторой постоянной <tex>c</tex>.
+
Поэтому <tex>c_n \sim c 4^n n^{-\frac{3}{2}}</tex> для некоторой постоянной <tex>c</tex>.
  
 
'''Пример.''' Найдем асимптотику коэффициентов для функции <tex>(a-s)^{\alpha}</tex>, где <tex>\alpha</tex> вещественно. В ряде случаев эта асимптотика нам
 
'''Пример.''' Найдем асимптотику коэффициентов для функции <tex>(a-s)^{\alpha}</tex>, где <tex>\alpha</tex> вещественно. В ряде случаев эта асимптотика нам
Строка 91: Строка 91:
 
<tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{1}{a} \cfrac{n-\alpha}{n+1}</tex>
 
<tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{1}{a} \cfrac{n-\alpha}{n+1}</tex>
  
Поэтому <tex>a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}</tex>. Например, коэффициенты функции <tex>-(1-4s)^{\frac{1}{2}}</tex> ведут себя как <tex>c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}</tex>, и мы получаем повторный вывод ассимптотики для [[Числа Каталана|чисел Каталана]].
+
Поэтому <tex>a_n \sim c a^{-n} n^{-\alpha-1}</tex>. Например, коэффициенты функции <tex>-(1-4s)^{\frac{1}{2}}</tex> ведут себя как <tex>c 4^n n^{-\frac{3}{2}}</tex>, и мы получаем повторный вывод ассимптотики для [[Числа Каталана|чисел Каталана]].
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Версия 19:57, 21 мая 2018

Определение:
Последовательность, в которой отношение двух соседних членов равно отношению многочленов степени [math]n[/math], где [math]n \gt 0[/math], называется гипергеометрической (англ. hypergeometric sequence).


Вычисление асимптотики

Лемма:
Пусть последовательность [math]a_0, a_1, \ldots[/math] положительных чисел такова, что [math]\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=A\cfrac{n^k+\alpha_1 n^{k-1}+ \ldots +\alpha_k}{n^k+\beta_1 n^{k-1}+ \ldots +\beta_k}[/math] для всех достаточно больших [math]n[/math], причем [math]\alpha_1 \ne \beta_1[/math]. Тогда [math]a_n[/math] растет как [math]a_n \sim cA^n n^{\alpha_1-\beta_1}[/math] для некоторой постоянной [math]c\gt 0[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел [math]\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n n^{\alpha_1-\beta_1}}}[/math].
Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела [math]\lim\limits_{n \to \infty} {( \ln {a_n} - n \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln n )}[/math].

Для доказательства существования предела применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна[1]. Фундаментальность последовательности означает, что для любого [math]ε \gt 0[/math] существует такой номер [math]N[/math], что для всех [math]n \gt N[/math] и всех положительных [math]m[/math]

[math]|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - (n+m) \ln A + n \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln(n+m)+(\alpha_1-\beta_1)\ln n| \lt ε[/math]

или

[math]|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \ln {(n+m)} + (\alpha_1-\beta_1) \ln n| \lt ε (*)[/math]

Перепишем отношение [math]\cfrac{a_{n+1}}{a_n}[/math] в виде

[math]\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=A\cfrac{1+\alpha_1 n^{-1} + \ldots + \alpha_k n^{-k}}{1+\beta_1 n^{-1} + \ldots + \beta_k n^{-k}}=Af(\cfrac{1}{n})[/math],

где

[math]f(x)=\cfrac{1+\alpha_1 x + \ldots + \alpha_k x^k}{1+\beta_1 x + \ldots + \beta_k x^k}[/math]

Прологарифмировав отношение [math]\cfrac{a_{n+1}}{a_n}[/math], получаем

[math]\ln a_{n+1} - \ln a_n = \ln A + \ln f(\cfrac{1}{n})[/math].

Посмотрим на функцию [math]\ln f(x)[/math]. Выпишем начальные члены разложения функции [math]f[/math] в ряд в точке [math]0[/math]:

[math]f(x)=1 + (\alpha_1 - \beta_1)x + \gamma x^2 + \ldots [/math] для некоторой константы [math]\gamma[/math]. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент [math]\alpha_1 - \beta_1[/math](отличный от нуля по предположению леммы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя [math]n^{\alpha_1-\beta_1}[/math] в асимптотике. Для логарифма функции [math]f[/math] имеем

[math]\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1)x+\tilde{\gamma}x^2 + \ldots[/math]

Поэтому для некоторой постоянной [math]C[/math] при достаточно маленьком [math]x[/math] имеем [math]|\ln f(x) = (\alpha_1 - \beta_1)x|\lt Cx^2[/math]. В частности, если [math]N[/math] достаточно велико, то [math]∀ n\gt N[/math]

[math]|\ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cfrac{1}{n}|\lt C \cfrac{1}{n^2}[/math],

[math]|\ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cfrac{1}{n+1}|\lt C \cfrac{1}{(n+1)^2}[/math],

[math]\ldots[/math]

[math]|\ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cfrac{1}{n+m}|\lt C \cfrac{1}{(n+m)^2}[/math].

Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства [math](*)[/math] можно оценить с помощью системы и неравенства треугольника[2]:

[math]| \ln a_{n+m} - \ln a_n - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)( \ln {(n+m)} - \ln n)| =[/math]

[math]= | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - \ldots + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \ln A - [/math]

[math] - (\alpha_1 - \beta_1) \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1)(\ln {(n+m)} - \ln n)| \leqslant[/math]

[math]\leqslant | \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cfrac{1}{n} | + | \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cfrac{1}{n+1}| +[/math]

[math]\ldots[/math]

[math]+ | \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cfrac{1}{n+m}| + | \alpha_1 - \beta_1 | \cdot | \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n | \leqslant[/math]

[math]\leqslant C(\cfrac{1}{n^2} + \cfrac{1}{(n+1)^2} + \ldots + \cfrac{1}{(n+m-1)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | \cdot | \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n |[/math].

Поскольку ряд [math]\sum\limits_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k^2}[/math] сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших [math]n[/math] можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции [math]\cfrac{1}{[x]}[/math] на отрезке [math][n, n+m][/math],

График функции [math]y = \cfrac{1}{[x]}[/math] на отрезке [math][n, n + m][/math]


(Здесь через [math][x][/math] обозначена целая часть числа [math]x[/math], наибольшее целое число, не превосходящее [math]x[/math].) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции [math]y = \cfrac{1}{x}[/math], но меньше, чем площадь под графиком функции [math]y = \cfrac{1}{x-1}[/math] на этом же отрезке. Площадь под графиком функции [math]y = \cfrac{1}{x-1}[/math] равна [math]\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}[/math]. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит [math]|(\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}) - (- \ln {(n+m)} + \ln n)| = | \ln {(1 - \cfrac{1}{n+m})} - \ln {(1 - \cfrac{1}{n})}| \lt |\ln {(1 - \cfrac{1}{n})}| \lt C \cfrac{1}{n}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Замечание: Предположения леммы не позволяют определить величину константы [math]c[/math]. Действительно, умножив последовательность [math]a_n[/math] на произвольную постоянную [math]d \gt 0[/math], мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа [math]c[/math] для которой увеличивается в [math]d[/math] раз

Примеры

Пример. Для чисел Каталана имеем

[math]\cfrac{c_{n+1}}{c_n}=\cfrac{4n+2}{n+2}=4\cfrac{n+\frac{1}{2}}{n+2}[/math]

Поэтому [math]c_n \sim c 4^n n^{-\frac{3}{2}}[/math] для некоторой постоянной [math]c[/math].

Пример. Найдем асимптотику коэффициентов для функции [math](a-s)^{\alpha}[/math], где [math]\alpha[/math] вещественно. В ряде случаев эта асимптотика нам уже известна, например, при [math]\alpha=−1[/math]. Согласно определению функции [math](1-s)^{\alpha}[/math] имеем

[math](a-s)^{\alpha}=a^{\alpha}(1-\cfrac{s}{a})^{\alpha}=a^{\alpha}(1 - \cfrac{\alpha}{1!} \cfrac{s}{a} + \cfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}{(\cfrac{s}{a})^2} - \cfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}(\cfrac{s}{a})^3 + \ldots)[/math].

Если [math]\alpha[/math] — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае начиная с некоторого номера все коэффициенты ряда имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться леммой при [math]a_n=(-1)^n \cfrac{\alpha(\alpha-1) \ldots (\alpha-n+1)}{n!{\alpha}^n}[/math]

[math]\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{1}{a} \cfrac{n-\alpha}{n+1}[/math]

Поэтому [math]a_n \sim c a^{-n} n^{-\alpha-1}[/math]. Например, коэффициенты функции [math]-(1-4s)^{\frac{1}{2}}[/math] ведут себя как [math]c 4^n n^{-\frac{3}{2}}[/math], и мы получаем повторный вывод ассимптотики для чисел Каталана.

См. также

Примечания

Источники информации