Асимптотика коэффициентов функций, связанных между собой уравнением Лагранжа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Метки: правка с мобильного устройства, правка из мобильной версии)
(Метки: правка с мобильного устройства, правка из мобильной версии)
Строка 3: Строка 3:
 
Пусть две [[Производящая функция#main | производящие функции]] <tex>\varphi = \varphi(s)</tex> и <tex>\psi = \psi(t),\, \psi(0) = 1\,</tex>   
 
Пусть две [[Производящая функция#main | производящие функции]] <tex>\varphi = \varphi(s)</tex> и <tex>\psi = \psi(t),\, \psi(0) = 1\,</tex>   
 
с неотрицательными коэффицентами связаны между собой [[Уравнение Лагранжа и теорема Лагранжа#Уравнение Лагранжа и теорема Лагранжа | уравнением Лагранжа]] <tex>\varphi(s) = s\psi(\varphi(s))</tex>. Пусть  <tex>r > 0\,</tex> — [[Степенные ряды#Радиус сходимости | радиус сходимости ряда]]  <tex>\varphi,</tex> причем числовой ряд  <tex>\varphi(r)</tex> сходится. Тогда радиус сходимости ряда <tex>\psi</tex> не меньше <tex>\rho = \varphi(r)</tex>. Если числовой ряд <tex>\varphi '(r)</tex> также сходится, то радиус сходимости ряда <tex>\psi</tex> равен <tex>\rho = \varphi(r)</tex>.
 
с неотрицательными коэффицентами связаны между собой [[Уравнение Лагранжа и теорема Лагранжа#Уравнение Лагранжа и теорема Лагранжа | уравнением Лагранжа]] <tex>\varphi(s) = s\psi(\varphi(s))</tex>. Пусть  <tex>r > 0\,</tex> — [[Степенные ряды#Радиус сходимости | радиус сходимости ряда]]  <tex>\varphi,</tex> причем числовой ряд  <tex>\varphi(r)</tex> сходится. Тогда радиус сходимости ряда <tex>\psi</tex> не меньше <tex>\rho = \varphi(r)</tex>. Если числовой ряд <tex>\varphi '(r)</tex> также сходится, то радиус сходимости ряда <tex>\psi</tex> равен <tex>\rho = \varphi(r)</tex>.
|proof=доказательство (необязательно)  
+
 
 +
'''Замечание'''
 +
Требование неотрицательности коэффициентов рядов естественно, если мы рассматриваем производящие функции для языков. В этом случае естественно также ожидать, что радиус сходимости производящего ряда для числа неприводимых слов больше радиуса сходимости производящего ряда для числа всех слов в языке (последняя последовательность растет быстрее последовательности чисел неприводимых слов).
 +
 
 +
|proof=
 +
доказательство (необязательно)  
 
}}
 
}}

Версия 13:46, 15 мая 2018

Теорема:
Пусть две производящие функции [math]\varphi = \varphi(s)[/math] и [math]\psi = \psi(t),\, \psi(0) = 1\,[/math]

с неотрицательными коэффицентами связаны между собой уравнением Лагранжа [math]\varphi(s) = s\psi(\varphi(s))[/math]. Пусть [math]r \gt 0\,[/math] радиус сходимости ряда [math]\varphi,[/math] причем числовой ряд [math]\varphi(r)[/math] сходится. Тогда радиус сходимости ряда [math]\psi[/math] не меньше [math]\rho = \varphi(r)[/math]. Если числовой ряд [math]\varphi '(r)[/math] также сходится, то радиус сходимости ряда [math]\psi[/math] равен [math]\rho = \varphi(r)[/math].

Замечание

Требование неотрицательности коэффициентов рядов естественно, если мы рассматриваем производящие функции для языков. В этом случае естественно также ожидать, что радиус сходимости производящего ряда для числа неприводимых слов больше радиуса сходимости производящего ряда для числа всех слов в языке (последняя последовательность растет быстрее последовательности чисел неприводимых слов).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
доказательство (необязательно)
[math]\triangleleft[/math]