Асимптотика коэффициентов функций, связанных между собой уравнением Лагранжа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 9: Строка 9:
 
|proof=
 
|proof=
 
Докажем, что ряд  <tex>\psi(s)</tex> сходится абсолютно в любой точке  <tex>s,\,\left\vert s \right\vert = q < \rho</tex>.
 
Докажем, что ряд  <tex>\psi(s)</tex> сходится абсолютно в любой точке  <tex>s,\,\left\vert s \right\vert = q < \rho</tex>.
Поскольку функция  <tex>\varphi</tex> монотонна и непрерывна на отрезке <tex>[0, r],\,</tex>существует точка <tex>p \in [0, r]</tex>, такая, что <tex>\varphi(p) = q</tex>. Поэтому для любой частичной суммы <tex>\psi_n(s)</tex>
+
Поскольку функция  <tex>\varphi</tex> монотонна и непрерывна на отрезке <tex>[0, r],\,</tex>существует точка <tex>p \in [0, r]</tex>, такая, что <tex>\varphi(p) = q</tex>. Поэтому для любой частичной суммы <tex>\psi_n(s) = psi_0 + psi_1 \cdot s + \ldots + psi_n \cdot s^n</tex> ряда <tex> \psi(s) </tex>
 +
 
 
}}
 
}}

Версия 11:16, 24 июня 2018

Пусть две производящие функции [math]\varphi = \varphi(s)[/math] и [math]\psi = \psi(t)\,[/math] связаны между собой уравнением Лагранжа [math]\varphi(s) = s\psi(\varphi(s))[/math]. Мы хотим выяснить, как связаны между собой их радиусы сходимости.

Теорема:
Пусть две производящие функции [math]\varphi = \varphi(s)[/math] и [math]\psi = \psi(t),\, \psi(0) = 1\,[/math] с неотрицательными коэффицентами связаны между собой уравнением Лагранжа [math]\varphi(s) = s\psi(\varphi(s))[/math]. Пусть [math]r \gt 0\,[/math] радиус сходимости ряда [math]\varphi,[/math] причем числовой ряд [math]\varphi(r)[/math] сходится. Тогда радиус сходимости ряда [math]\psi[/math] не меньше [math]\rho = \varphi(r)[/math]. Если числовой ряд [math]\varphi '(r)[/math] также сходится, то радиус сходимости ряда [math]\psi[/math] равен [math]\rho = \varphi(r)[/math].

Замечание

Требование неотрицательности коэффициентов рядов естественно, если мы рассматриваем производящие функции для языков. В этом случае естественно также ожидать, что радиус сходимости производящего ряда для числа неприводимых слов больше радиуса сходимости производящего ряда для числа всех слов в языке (последняя последовательность растет быстрее последовательности чисел неприводимых слов).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем, что ряд [math]\psi(s)[/math] сходится абсолютно в любой точке [math]s,\,\left\vert s \right\vert = q \lt \rho[/math].

Поскольку функция [math]\varphi[/math] монотонна и непрерывна на отрезке [math][0, r],\,[/math]существует точка [math]p \in [0, r][/math], такая, что [math]\varphi(p) = q[/math]. Поэтому для любой частичной суммы [math]\psi_n(s) = psi_0 + psi_1 \cdot s + \ldots + psi_n \cdot s^n[/math] ряда [math] \psi(s) [/math]
[math]\triangleleft[/math]