Базис Шаудера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 26: Строка 26:
 
Покажем, что он ограничен: <tex>\|T\alpha\| = \|x\| = \| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \| \le \sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \| = \| \alpha \|</tex>, то есть <tex>\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1</tex>.
 
Покажем, что он ограничен: <tex>\|T\alpha\| = \|x\| = \| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \| \le \sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \| = \| \alpha \|</tex>, то есть <tex>\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1</tex>.
  
Так как <tex>F</tex> и <tex>X</tex> — банаховы, по [[теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: <tex>\|T^{-1}\| \le C</tex>, то есть можно писать, что <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>, или <tex>\sup\limits_n\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \| \le C \| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \|</tex>. Получили, что <tex>\forall n: \| S_n(x) \| \le C \|x\|</tex>. Запишем оператор <tex>T</tex> как <tex>S_n + R_n</tex>, тогда <tex>R_n = T - S_n</tex>, <tex>\|R_n\| \le \| T\| + \|S_n\| \le 1 + C</tex>, то есть нормы остаточных операторов ограничены одним и тем же числом. {{TODO|t=я ведь правильно распознал текст конспекта?}}
+
Так как <tex>F</tex> и <tex>X</tex> — банаховы, по [[Теорема Банаха об обратном операторе|теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен.
  
{{TODO|t=я что-то совершенно не понимаю, что там дальше происходит =(}}
+
<tex>\|T^{-1}\| \le C</tex>, то есть, можно писать, что <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>.
  
Итак, если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом (Шаудера?), <tex>A:X \to X</tex> — компактный, <tex>\forall \varepsilon > 0: A = A_1 + A_2</tex>, где <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty, \|A_n\| < \varepsilon</tex> — почти конечномерность компактного оператора.
+
<tex>\sup\limits_n\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \| \le C \| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \|</tex>.
 +
 
 +
Получили, что <tex>\forall n: \| S_n(x) \| \le C \|x\|</tex>.
 +
 
 +
Запишем оператор <tex>T</tex> как <tex>S_n + R_n</tex>, тогда <tex>R_n = T - S_n</tex>, <tex>\|R_n\| \le \| T\| + \|S_n\| \le 1 + C</tex>.
 +
 
 +
Это значит, что нормы всех остаточных операторов <tex> R_n </tex> ограничены одним и тем же числом.
 +
 
 +
Пусть <tex>A : X \to X</tex> — компактный.
 +
 
 +
<tex>A = IA = S_n A + R_n A = A_1 + A_2</tex>.
 +
 
 +
<tex>S_n(y) = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k</tex>.
 +
 
 +
<tex>R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>, то есть, <tex>A_1</tex> — конечномерный оператор.
 +
 
 +
Проверим, что <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} A \| < \varepsilon</tex>:
 +
 
 +
Для любого <tex>y \in X</tex>, <tex>\|R_n\| \le 1 + C</tex> и <tex>R_n(y) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.
 +
 
 +
<tex>M</tex> — относительно компактно в <tex>X</tex>, следовательно, для любого <tex>\varepsilon > 0</tex> есть конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>z_1, \ldots, z_p</tex>.
 +
 
 +
<tex>\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| < \varepsilon</tex>
 +
 
 +
<tex>\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\| \le</tex>
 +
 
 +
{{TODO|t=что-то неразборчивое}}
 +
 
 +
<tex>\le (2 + C) \varepsilon</tex>
 +
 
 +
<tex>\overline V</tex> — единичный шар в <tex>X</tex>, <tex>M = A(\overline V)</tex> — компактно.
 +
 
 +
<tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex> \overline V </tex>, так как <tex>R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>M</tex>.
 +
 
 +
Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>.
 +
 
 +
Итак, если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, <tex>\forall \varepsilon > 0: A = A_1 + A_2</tex>, где <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty, \|A_n\| < \varepsilon</tex> — почти конечномерность компактного оператора.
  
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Версия 16:53, 9 июня 2013

Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда [math]X[/math] имеет базис Шаудера.


Определение:
Базисом Шаудера в банаховом пространстве [math]X[/math] называется множество его элементов [math]e_1, e_2 \dots e_n \dots[/math] такое, что у любого [math]x[/math] в [math]X[/math] существует единственное разложение [math]x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i[/math].


Примеры:

  • ортонормированный базис в Гильбертовом пространстве — базис Шаудера
  • в [math]L_p(E)[/math] и [math]C[a, b][/math] тоже есть базис Шаудера
  • но не у всех банаховых пространств он есть

Пусть в [math]X[/math] есть базис Шаудера, тогда между [math]x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k[/math] и [math](\alpha_1 \dots \alpha_1 \dots)[/math] — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим [math]F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}[/math] — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, [math]F[/math] можно превратить в НП, определив норму как [math]\| \alpha \| = \sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\|[/math].

Утверждение:
Пространство [math] F [/math] относительно этой нормы — Банахово.
[math]\triangleright[/math]
TODO: доказать, доказательство есть в Люстернике-Соболеве
[math]\triangleleft[/math]

Определим биективный линейный оператор [math]T: F \to X[/math] как [math]T \alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n[/math].

Покажем, что он ограничен: [math]\|T\alpha\| = \|x\| = \| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \| \le \sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \| = \| \alpha \|[/math], то есть [math]\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1[/math].

Так как [math]F[/math] и [math]X[/math] — банаховы, по теореме Банаха об обратном операторе, обратный оператор также ограничен.

[math]\|T^{-1}\| \le C[/math], то есть, можно писать, что [math]\|\alpha\| \le C \|x\|[/math].

[math]\sup\limits_n\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \| \le C \| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \|[/math].

Получили, что [math]\forall n: \| S_n(x) \| \le C \|x\|[/math].

Запишем оператор [math]T[/math] как [math]S_n + R_n[/math], тогда [math]R_n = T - S_n[/math], [math]\|R_n\| \le \| T\| + \|S_n\| \le 1 + C[/math].

Это значит, что нормы всех остаточных операторов [math] R_n [/math] ограничены одним и тем же числом.

Пусть [math]A : X \to X[/math] — компактный.

[math]A = IA = S_n A + R_n A = A_1 + A_2[/math].

[math]S_n(y) = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k[/math].

[math]R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)[/math], то есть, [math]A_1[/math] — конечномерный оператор.

Проверим, что [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists n_0: \|R_{n_0} A \| \lt \varepsilon[/math]:

Для любого [math]y \in X[/math], [math]\|R_n\| \le 1 + C[/math] и [math]R_n(y) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0[/math].

[math]M[/math] — относительно компактно в [math]X[/math], следовательно, для любого [math]\varepsilon \gt 0[/math] есть конечная [math]\varepsilon[/math]-сеть [math]z_1, \ldots, z_p[/math].

[math]\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| \lt \varepsilon[/math]

[math]\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\| \le[/math]


TODO: что-то неразборчивое

[math]\le (2 + C) \varepsilon[/math]

[math]\overline V[/math] — единичный шар в [math]X[/math], [math]M = A(\overline V)[/math] — компактно.

[math]R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0[/math] на [math] \overline V [/math], так как [math]R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0[/math] на [math]M[/math].

Получили [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| \lt \varepsilon\ forall x \in \overline{V}[/math], то есть, [math]\|R_{n_0}A\| \lt \varepsilon[/math].

Итак, если [math]X[/math] — банахово пространство с базисом Шаудера, [math]A:X \to X[/math] — компактный, [math]\forall \varepsilon \gt 0: A = A_1 + A_2[/math], где [math]\operatorname{dim}(R(A_1)) \lt +\infty, \|A_n\| \lt \varepsilon[/math] — почти конечномерность компактного оператора.