Бинарное отношение — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Степень отношений)
Строка 21: Строка 21:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
'''Степенью''' отношения '''R''' на множестве '''A''' называется его композиция с самим собой:
+
'''Степенью''' отношения '''R''' на множестве '''A''' называется его [[Композиция_отношений|композиция]] с самим собой:
  
 
<math>R^n \  \stackrel{\mathrm{def}}{=} \  R_1 \circ \dots  \circ R_n</math>
 
<math>R^n \  \stackrel{\mathrm{def}}{=} \  R_1 \circ \dots  \circ R_n</math>

Версия 00:18, 15 января 2012

Определение

Определение:
Бинарным отношением R из множества A в множество B называется подмножество прямого произведения A и B и обозначается: [math]R \subset \Alpha \times \Beta[/math]


Часто используют инфиксную форму записи: [math]aRb, \ \langle x, y \rangle\in R[/math]

Если отношение определено на множестве A то возможно следующее определение:

Определение:
Бинарным (или двуместным) отношением R на множестве A называется множество упорядоченных пар элементов этого множества

Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.

Степень отношений

Пусть R - отношение на множестве A.

Определение:
Степенью отношения R на множестве A называется его композиция с самим собой: [math]R^n \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ R_1 \circ \dots \circ R_n[/math]


Свойства отношений

Для [math]R \subset A^2[/math] определены свойства:

Виды отношений

Выделяются следующие виды отношений:

  • квазипорядка — рефлексивное транзитивное
  • эквивалентности — рефлексивное симметричное транзитивное
  • частичного порядка — рефлексивное антисимметричное транзитивное
  • строгого порядка — антирефлексивное антисимметричное транзитивное
  • линейного порядка — полное антисимметричное транзитивное
  • доминирования — антирефлексивное антисимметричное

Примеры отношений

  • Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство.
  • Примеры нерефлексвных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».
  • Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
  • Примеры симметричных отношений: равенство (=), неравенство, отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).
  • Примеры антисимметричных отношений: больше, меньше, больше или равно.
  • Примеры асимметричных отношений: отношение «больше» (>) и «меньше» (<).

См. также

Ссылки