Бор — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Недостатки)
(Обозначения)
Строка 11: Строка 11:
 
*<tex>P = \{P_1,\ldots,P_k\} </tex> {{---}} набор строк, называемый словарем;
 
*<tex>P = \{P_1,\ldots,P_k\} </tex> {{---}} набор строк, называемый словарем;
 
*<tex>n = \sum_{i=1}^{k}\limits |P_i|</tex> {{---}} сумма длин строк.
 
*<tex>n = \sum_{i=1}^{k}\limits |P_i|</tex> {{---}} сумма длин строк.
 +
*<tex>k</tex> {{---}} длина строки
 +
*<tex>m</tex> {{---}} число ключей
 +
 
Бор храним как дерево, в каждой вершине которого есть метка конца строки (''true'' или ''false'', в зависимости от того, является ли вершина концом строки) и указатели на другие вершины или на <tex>0</tex>.
 
Бор храним как дерево, в каждой вершине которого есть метка конца строки (''true'' или ''false'', в зависимости от того, является ли вершина концом строки) и указатели на другие вершины или на <tex>0</tex>.
  

Версия 21:34, 13 апреля 2016

Бор (англ. trie, луч, нагруженное дерево) — структура данных для хранения набора строк, представляющая из себя подвешенное дерево с символами на рёбрах. Строки получаются последовательной записью всех символов, хранящихся на рёбрах между корнем бора и терминальной вершиной. Размер бора линейно зависит от суммы длин всех строк, а поиск в бору занимает время, пропорциональное длине образца.

Пример

Бор для набора образцов [math] \{ \textbf{he}, \textbf{she}, \textbf{his}, \textbf{hers}\} [/math]:
Бор.jpg

Построение

Обозначения

Введем следующие обозначения:

  • [math]P = \{P_1,\ldots,P_k\} [/math] — набор строк, называемый словарем;
  • [math]n = \sum_{i=1}^{k}\limits |P_i|[/math] — сумма длин строк.
  • [math]k[/math] — длина строки
  • [math]m[/math] — число ключей

Бор храним как дерево, в каждой вершине которого есть метка конца строки (true или false, в зависимости от того, является ли вершина концом строки) и указатели на другие вершины или на [math]0[/math].

Алгоритм

Непосредственно построение:

  • Начало.
  • Шаг 1. Создадим дерево из одной вершины (в нашем случае корня).
  • Шаг 2. Добавление элементов в дерево.
    • Добавляем шаблоны [math]P_i[/math] один за другим. Следуем из корня по рёбрам, отмеченным буквами из [math]P_i[/math], пока возможно.
    • Если [math]P_i[/math] заканчивается в [math]v[/math], сохраняем идентификатор [math]P_i[/math] (например, [math]i[/math]) в [math]v[/math] и отмечаем вершину [math]v[/math] как терминальную.
    • Если ребра, отмеченного очередной буквой [math]P_i[/math] нет, то создаем новое ребро и вершину для символа строки [math]P_i[/math].
  • Конец.

Это занимает, очевидно, [math]O(|P_1| + \ldots + |P_k|) = O(n)[/math] времени, так как поиск буквы, по которой нужно переходить, происходит за [math]O(1)[/math](в вершине есть указатели на буквы).

Поскольку на каждую вершину приходится [math]O(1)[/math] памяти, то использование памяти есть [math]O(n)[/math].

Суффиксный бор

Основная статья: Суффиксный бор

Бор позволяет решать задачу поиска подстроки в строке, если построить его на множестве суффиксов исходной строки.

Цифровой бор

Использование бора

Поиск строки в бору

Задача:
Требуется найти слово [math]S[/math] в словаре.

При решении этой задачи, обход бора совершается из его корня по рёбрам, отмеченным символами строки [math]S[/math], пока возможно. Если с последним символом [math]S[/math] мы приходим в вершину с сохраненным идентификатором, то [math]S[/math] — слово из словаря. Если в какой-то момент ребра, отмеченного нужным символом, не находится, то строки [math]S[/math] в словаре нет. Ясно, что это занимает [math]O (|S|)[/math] времени. Таким образом, бор — это эффективный способ хранить словарь и искать в нем слова.

Использование бора в качестве ассоциативного массива

Благодаря тому, что бор позволяет решать задачу, описанную выше, он может выступать в качестве ассоциативного массива. Обычно, когда требуется такая структура, то используют двоичное дерево поиска или хеш-таблицу.

Достоинства

Бор объединяет некоторые преимущества этих структур данных и позволяет одновременно делать следующие операции, которые каждая из структур не может делать по отдельности.

  1. Добавление элемента в ассоциативный массив за [math]O(k)[/math] (дерево выполняет данную операцию за [math]O(k\log m)[/math]).
  2. Получение всех ключей в отсортированном порядке за [math]O(m)[/math] (хеш-таблица выполняет данную операцию за [math]O(m\log m)[/math]).

Недостатки

Несмотря на данные достоинства у реализации ассоциативного массива в виде бора есть следующие недостатки:

  1. Бор хранит строки или символы, а это значит, что у значения ключа будет ограничение на тип (строки, символы, либо числа, представленные как строки). Чтобы это исправить, научимся приводить любой тип данных к строке. Тогда сможем хранить любой вид данных в качестве ключа.
  2. Если реализовывать ассоциативный массив на обычном боре, а ключами будут являться строки, то будет использоваться слишком много памяти (возможен, например, вариант, когда у слов нет пересечений по префиксу, тогда бор будет использовать [math]O(mk)[/math] памяти).

См. также

Источники информации

  • Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — ISBN 5-8489-0857-4
  • Бор. Построение бора